Средняя линия треугольника: свойство, формула и примеры

В задачах ОГЭ часто встречается отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника — и почти всегда от него требуют найти длину или доказать параллельность, не измеряя чертёж. Разберёмся, что такое средняя линия треугольника, почему у неё именно такие свойства и как быстро применять их в задачах.

Свойство средней линии

Средняя линия параллельна той стороне треугольника, которую она не пересекает, и равна половине её длины. Это верно для любого треугольника — остроугольного, тупоугольного или прямоугольного, вне зависимости от того, какую пару сторон выбрать.

Почему это работает

Доказать свойство проще всего через подобие треугольников. Пусть M — середина AB, N — середина BC. Тогда BM/BA = BN/BC = 1/2, а угол B у треугольников BMN и BAC общий. По первому признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними) треугольник BMN подобен треугольнику BAC с коэффициентом подобия 1/2.

Из подобия следует два факта сразу. Во-первых, соответственные углы равны: угол BMN равен углу BAC, а значит MN и AC образуют с секущей AB равные соответственные углы — по признаку параллельности прямых MN параллельна AC. Во-вторых, стороны подобных треугольников пропорциональны с тем же коэффициентом 1/2, откуда MN = (1/2)·AC. Оба свойства — и параллельность, и вдвое меньшая длина — доказываются одним и тем же рассуждением о подобии, поэтому на экзамене их всегда упоминают вместе.

Есть и второй способ доказательства — через векторы, он удобен, если треугольник уже задан в координатах. Обозначим положение вершин радиус-векторами $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ относительно произвольной точки отсчёта. Середина стороны $AB$ имеет радиус-вектор $\vec{M} = \dfrac{\vec{A}+\vec{B}}{2}$, а середина стороны $BC$ — вектор $\vec{N} = \dfrac{\vec{B}+\vec{C}}{2}$. Тогда вектор средней линии равен

Вектор $\vec{MN}$ оказался равен половине вектора $\vec{AC}$ — а значит, эти отрезки не просто равны по длине с коэффициентом 1/2, но и коллинеарны, то есть лежат на параллельных (в данном случае — сонаправленных) прямых. Векторное доказательство даёт сразу оба свойства в одной строке и особенно полезно, когда координаты вершин уже известны из условия задачи.

Средняя линия трапеции — не то же самое

Где применяется на практике

Свойство средней линии — рабочий инструмент, а не только теорема для доказательства. Оно упрощает задачи, где нужно быстро связать отрезок, соединяющий середины сторон, с третьей стороной, — например, при доказательстве, что четырёхугольник, вершинами которого служат середины сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом (это прямое следствие того, что каждая пара противоположных сторон такого четырёхугольника — средняя линия одного и того же диагонального треугольника, а значит параллельна и равна половине одной и той же диагонали).

Такой же приём — заменить сторону средней линией и получить вдвое меньший, но подобный исходному треугольник — регулярно используется в задачах на построение и на доказательство параллельности, когда в условии впрямую даны именно середины сторон, а не сами вершины. Если в задаче упоминается точка, «делящая сторону пополам», и нужно что-то доказать про параллельность или про отношение длин, это почти всегда сигнал, что стоит достроить среднюю линию и воспользоваться её свойством, вместо того чтобы вычислять углы или расставлять координаты.

Задачи для самопроверки

Что почитать дальше

• Пропорция
• Периметр, площадь и объём: геометрия вокруг нас
• Признаки равенства треугольников: три признака и доказательства
• Подготовка к ОГЭ по математике

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.