Квадратные корни: полное путешествие от нуля до героя
Квадратные корни: полное путешествие от нуля до героя
Введение: Почему корни - это круто? 🎯
Представь: ты играешь в Minecraft и решил построить идеально квадратную крепость 🏰. У тебя есть ровно 144 блока. Вопрос на миллион: какой длины должна быть сторона твоей крепости?
Или другая ситуация: твой любимый стример на YouTube набрал ровно 10 000 подписчиков 📺. Он говорит: “Когда число моих подписчиков станет квадратом целого числа, сделаю стрим на 24 часа!” Сколько ещё подписчиков нужно набрать до следующего квадрата?
Все эти вопросы решаются одним мощным математическим инструментом - квадратным корнем! И сегодня мы разберём эту тему от А до Я так, чтобы корни стали твоим суперпауэром 💪
[МЕДИА: image_01] Описание: Minecraft крепость в форме квадрата со стороной 12 блоков и площадью 144 квадратных блока, яркая и детальная иллюстрация Промпт: “educational illustration, Minecraft-style square fortress with side length 12 blocks and area 144 square blocks, isometric view, colorful blocks, simple minimalist game style, white background, suitable for students aged 13-15”
Часть 1: Основные понятия и определения
Откуда взялся квадратный корень? История знака √
Давай начнём с самого начала. Что такое корень и зачем он нужен?
Представь простую задачу: найди площадь квадрата со стороной 5 см. Легко! S = 5² = 25 см². Мы возвели сторону в квадрат (во вторую степень).
А теперь обратная задача: площадь квадрата 25 см². Чему равна сторона?
Вот тут-то нам и нужен квадратный корень! Корень - это операция, обратная возведению в квадрат. Если квадрат - это “умножить число само на себя”, то корень - это “найти число, которое при умножении само на себя даст нужный результат”.
[МЕДИА: image_02] Описание: Две схемы: 1) стрелка от числа 5 к квадрату со стороной 5 к площади 25, 2) обратная стрелка от площади 25 через корень к стороне 5 Промпт: “educational diagram showing forward and backward relationship, number 5 → square → area 25, and reverse: area 25 → square root → 5, arrows, clean minimalist style, flat colors, white background”
Обозначение корня: символ √
Символ корня √ называется радикалом. Это слово происходит от латинского radix, что значит “корень”. Первая буква r со временем превратилась в тот самый загогулинистый значок, который мы знаем.
Полная запись квадратного корня из числа 9 выглядит так:
²√9
Где: - ² (маленькая двойка слева вверху) - показатель корня (или степень корня) - √ - символ корня (радикал) - 9 - подкоренное выражение
Но чаще всего показатель корня не пишут, если речь идёт именно о квадратном корне. То есть вместо ²√9 пишут просто √9.
Важно! Если видишь корень без показателя - это квадратный корень (степень 2).
Определение квадратного корня
Теперь строгое определение:
Квадратным корнем из числа a называется такое число b, которое при возведении во вторую степень (в квадрат) даёт число a.
Математически это записывается так:
Если b² = a, то √a = b
Примеры:
- √9 = 3, потому что 3² = 9
- √16 = 4, потому что 4² = 16
- √100 = 10, потому что 10² = 100
[МЕДИА: image_03] Описание: Таблица связей: число → квадрат → корень. Примеры: 1→1→1, 2→4→2, 3→9→3, 4→16→4, 5→25→5 Промпт: “mathematical table showing number-square-root relationships, colorful arrows connecting 1→1→1, 2→4→2, 3→9→3, 4→16→4, 5→25→5, educational style, flat design, white background”
Два значения корня: положительное и отрицательное
Вот тут начинается интересное! У квадратного корня на самом деле два значения: положительное и отрицательное.
Почему? Давай разберём на примере √4:
- Число 2 в квадрате даёт 4: 2² = 4 ✓
- Число -2 в квадрате тоже даёт 4: (-2)² = 4 ✓
Получается, квадратный корень из 4 - это И 2, И -2 одновременно!
Поэтому когда мы решаем уравнение типа x² = 4, правильный ответ: x = ±2 (читается “плюс-минус два”).
Знак ± означает, что у корня два противоположных значения.
Арифметический квадратный корень
Но часто нам нужно только положительное значение. Например, когда мы ищем длину стороны квадрата - она не может быть отрицательной!
В таких случаях говорят об арифметическом квадратном корне.
Арифметический квадратный корень из числа a - это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b² = a.
Примеры: - Квадратные корни из 16: ±4 (оба значения) - Арифметический квадратный корень из 16: 4 (только положительное)
В большинстве задач мы работаем именно с арифметическим корнем (положительным значением).
Разговорный язык: как говорить про корни
В полной форме мы говорим: “квадратный корень из числа шестнадцать”.
Но в разговоре можно короче: “корень из шестнадцати” или просто “корень шестнадцати”.
Главное - не путать понятия!
Корень - это число, которое при возведении в квадрат даёт исходное число. Квадрат - это число, полученное возведением во вторую степень.
Например: - Числа 25, 36, 49 - это квадраты (25 = 5², 36 = 6², 49 = 7²) - Числа 5, 6, 7 - это корни из этих квадратов
[МЕДИА: image_04] Описание: Два облачка: в одном “Квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36…“, в другом “Корни: 1, 2, 3, 4, 5, 6…” Промпт: “two colorful speech bubbles, one labeled ‘Squares: 1, 4, 9, 16, 25, 36…‘, other labeled ‘Roots: 1, 2, 3, 4, 5, 6…‘, simple educational illustration, flat design, white background”
Часть 2: Основные правила и свойства корней
Правило 1: Корень из единицы и нуля
Самые простые корни:
√1 = 1
Почему? Потому что 1² = 1
√0 = 0
Почему? Потому что 0² = 0
Тут всё логично и просто!
Правило 2: Корень из отрицательного числа
А вот это важно! В мире действительных чисел (с которыми мы пока работаем):
√(-4) не существует!
Почему? Потому что любое число в квадрате даёт положительный результат: - 2² = 4 (положительное) - (-2)² = 4 (тоже положительное!)
Нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным. Поэтому выражения вроде √(-9), √(-16) не имеют смысла в действительных числах.
Для любопытных: В старших классах вы узнаете про комплексные числа, где корни из отрицательных чисел существуют. Но это совсем другая история!
Правило 3: Квадрат корня
Если взять квадратный корень и сразу возвести его во вторую степень, что получится?
(√a)² = a
То есть операции “корень” и “квадрат” взаимно уничтожаются!
Примеры:
- (√4)² = 4
- (√9)² = 9
- (√16)² = 16
- (√25)² = 25
Это логично: мы нашли число, которое в квадрате даёт a, а потом возвели его в квадрат - конечно, получили обратно a!
[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация показывает круговое движение: число a → корень √a → квадрат обратно к a Промпт: “simple 2D animation showing circular flow: number a → square root → squaring back to a, duration 5 seconds, educational minimalist style”
Правило 4: Корень из квадрата числа
А вот тут нужна внимательность! Если под корнем стоит число, возведённое в квадрат:
√(a²) = |a|
Не просто a, а модуль числа a!
Почему модуль? Потому что корень всегда даёт неотрицательное значение, а число a может быть отрицательным.
Примеры: - √(5²) = √25 = 5 = |5| ✓ - √((-5)²) = √25 = 5 = |-5| ✓
Видишь? В обоих случаях получаем 5, хотя исходные числа были разного знака!
Правило 5: Сравнение корней
Очень важное свойство:
Меньшему числу соответствует меньший корень, большему числу - больший корень.
Математически: если a < b, то √a < √b
Примеры: - 49 < 64, значит √49 < √64, то есть 7 < 8 ✓ - 1 < 100, значит √1 < √100, то есть 1 < 10 ✓
Это свойство очень помогает при приближённых вычислениях!
Часть 3: Простые примеры - тренируем глаз
Корни, которые нужно знать наизусть
Эти корни встречаются постоянно, их нужно запомнить как таблицу умножения:
Квадраты от 1 до 10:
1² = 1 → √1 = 1
2² = 4 → √4 = 2
3² = 9 → √9 = 3
4² = 16 → √16 = 4
5² = 25 → √25 = 5
6² = 36 → √36 = 6
7² = 49 → √49 = 7
8² = 64 → √64 = 8
9² = 81 → √81 = 9
10² = 100 → √100 = 10
[МЕДИА: image_05] Описание: Красочная таблица квадратов и корней от 1 до 10 в виде карточек Промпт: “colorful flashcard-style table showing squares 1-10 and their roots, bright educational design, each number pair in a separate card, minimalist flat design, white background”
Квадраты от 11 до 20 (полезно знать!)
11² = 121 → √121 = 11
12² = 144 → √144 = 12
13² = 169 → √169 = 13
14² = 196 → √196 = 14
15² = 225 → √225 = 15
16² = 256 → √256 = 16
17² = 289 → √289 = 17
18² = 324 → √324 = 18
19² = 361 → √361 = 19
20² = 400 → √400 = 20
Примеры с таблицей умножения
Пример 1: √36
Вспоминаем таблицу умножения: 6 × 6 = 36, значит 6² = 36. Ответ: √36 = 6
Пример 2: √49
Таблица на 7: 7 × 7 = 49, значит 7² = 49. Ответ: √49 = 7
Пример 3: √100
Последнее “круглое” число: 10 × 10 = 100. Ответ: √100 = 10
Примеры с большими числами (таблица квадратов)
Для чисел больше 100 используем таблицу квадратов (от 1 до 99).
Пример 4: √256
Ищем в таблице квадратов число 256. Находим: 16² = 256. Ответ: √256 = 16
Пример 5: √576
В таблице находим: 24² = 576. Ответ: √576 = 24
Пример 6: √841
В таблице находим: 29² = 841. Ответ: √841 = 29
[МЕДИА: image_06] Описание: Фрагмент таблицы квадратов с подсвеченными числами 256, 576, 841 Промпт: “educational illustration of squares table, highlighting cells 256, 576, 841 with arrows pointing to their roots 16, 24, 29, colorful and clear, simple design for students”
Примеры с выражениями
Пример 7: 2√16
Сначала извлекаем корень: √16 = 4 Потом умножаем: 2 × 4 = 8 Ответ: 8
Пример 8: √25 + √36
Вычисляем каждый корень: √25 = 5, √36 = 6 Складываем: 5 + 6 = 11 Ответ: 11
Пример 9: √64 - 3√9
√64 = 8, √9 = 3 8 - 3×3 = 8 - 9 = -1 Ответ: -1
Пример 10: (√49)² + √81
(√49)² = 49 (корень в квадрате = подкоренное выражение) √81 = 9 49 + 9 = 58 Ответ: 58
Часть 4: Уравнения с корнями
Простейшие уравнения
Пример 1: √x = 4
Что такое x, если корень из него равен 4?
По определению корня: число, квадрат которого равен 4², то есть 16. Ответ: x = 16
Проверка: √16 = 4 ✓
Пример 2: √x = 7
По аналогии: x = 7² = 49 Проверка: √49 = 7 ✓
Метод: использование определения
Пусть дано уравнение √x = b.
По определению квадратного корня: если √x = b, то b² = x.
То есть возводим обе части в квадрат!
Пример 3: √x - 8 = 0
Переносим: √x = 8 Возводим в квадрат: (√x)² = 8² Получаем: x = 64
Пример 4: √(3 + 5x) = 7
Возводим в квадрат обе части: (√(3 + 5x))² = 7² 3 + 5x = 49 5x = 46 x = 46⁄5 = 9,2
Проверка: √(3 + 5×9,2) = √(3 + 46) = √49 = 7 ✓
Пример 5: 2√x = 10
Делим обе части на 2: √x = 5 Возводим в квадрат: x = 25
[МЕДИА: image_07] Описание: Пошаговое решение уравнения √(x+5) = 7 с визуальными стрелками Промпт: “step-by-step equation solving diagram for √(x+5) = 7, showing each step with arrows, colorful highlighting, educational math style, clean design”
Уравнения посложнее
Пример 6: √x + √(x+3) = 3
Это уже сложнее! Тут нужно изолировать один корень: √x = 3 - √(x+3)
Возводим в квадрат обе части: x = 9 - 6√(x+3) + (x+3) x = 12 + x - 6√(x+3) -12 = -6√(x+3) 2 = √(x+3)
Снова возводим в квадрат: 4 = x + 3 x = 1
Проверка: √1 + √4 = 1 + 2 = 3 ✓
Часть 5: Приближённое значение корней
Зачем нужны приближённые значения?
Не из каждого числа можно извлечь корень точно! Например:
- √2 не извлекается точно
- √3 не извлекается точно
- √5 не извлекается точно
- √10 не извлекается точно
Но мы можем найти их приближённое значение - число, которое при возведении в квадрат даёт результат, близкий к исходному.
Степени точности
Приближённые значения находят с определённой точностью: - С точностью до целых (до 1) - С точностью до десятых (до 0,1) - С точностью до сотых (до 0,01) - С точностью до тысячных (до 0,001) - И так далее…
Пример: √3 с точностью до десятых
Шаг 1: Определяем границы
Ближайший меньший квадрат: √1 = 1 Ближайший больший квадрат: √4 = 2
Значит: 1 < √3 < 2
Шаг 2: Проверяем десятичные дроби в этом интервале
Проверим 1,5: 1,5² = 2,25 (маловато, до 3 не дотягивает)
Проверим 1,8: 1,8² = 3,24 (уже многовато, перескочили 3)
Проверим 1,7: 1,7² = 2,89 (близко к 3, но чуть меньше - отлично!)
Ответ: √3 ≈ 1,7 (с точностью до десятых)
[МЕДИА: animation_02] Описание: Анимация поиска √3, показывает проверку чисел 1,5, 1,6, 1,7, 1,8 и их квадраты Промпт: “educational animation showing trial and error process for finding √3, testing values 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 and showing their squares, duration 8 seconds, clear visual feedback”
Пример: √3 с точностью до сотых
Теперь ищем точнее! Границы: 1,7 < √3 < 1,8
Проверим 1,75: 1,75² = 3,0625 (многовато)
Проверим 1,74: 1,74² = 3,0276 (всё ещё многовато)
Проверим 1,73: 1,73² = 2,9929 (близко к 3, подходит!)
Ответ: √3 ≈ 1,73 (с точностью до сотых)
Ещё точнее!
√3 ≈ 1,732 (с точностью до тысячных) √3 ≈ 1,7320 (с точностью до десятитысячных) √3 ≈ 1,73205 (с точностью до стотысячных)
Процесс можно продолжать бесконечно!
Недостаток и избыток
С недостатком - когда квадрат приближённого значения меньше подкоренного выражения. С избытком - когда квадрат приближённого значения больше подкоренного выражения.
Для √3: - 1,7 - с недостатком (1,7² = 2,89 < 3) - 1,8 - с избытком (1,8² = 3,24 > 3)
С точностью до целых: - √3 ≈ 1 (с недостатком) - √3 ≈ 2 (с избытком)
Практика: больше примеров!
Пример 1: √5 с точностью до 0,1
Границы: 2 < √5 < 3
2,2² = 4,84 (недостаток) 2,3² = 5,29 (избыток)
Ответ: √5 ≈ 2,2 (с недостатком) или √5 ≈ 2,3 (с избытком)
Пример 2: √51 с точностью до 1
Границы: 7 < √51 < 8 (поскольку 7² = 49, 8² = 64)
7² = 49 (ближе к 51) 8² = 64 (дальше от 51)
Ответ: √51 ≈ 7
Пример 3: √51 с точностью до 0,01
7,1² = 50,41 (недостаток) 7,2² = 51,84 (избыток) 7,14² = 50,9796 (недостаток) 7,15² = 51,1225 (избыток)
Ответ: √51 ≈ 7,14
[МЕДИА: image_08] Описание: График, показывающий приближение к √5 через последовательные попытки Промпт: “educational graph showing approximation to √5, number line from 2 to 3, testing points 2.2, 2.3, their squares shown, colorful markers, clear educational style”
Часть 6: Границы расположения корней
Правило: от 1 до 100
Если число a принадлежит промежутку [1; 100], то √a принадлежит промежутку [1; 10].
Это логично: - √1 = 1 (минимум) - √100 = 10 (максимум) - Всё между ними - тоже в промежутке [1; 10]
Примеры: - √64 → 64 ∈ [1; 100] → √64 ∈ [1; 10] → √64 = 8 ✓ - √49 → 49 ∈ [1; 100] → √49 ∈ [1; 10] → √49 = 7 ✓ - √37 → 37 ∈ [1; 100] → √37 ∈ [1; 10] → √37 ≈ 6,08 ✓
Корни с нулями на конце
Если к числу от 1 до 10 дописать n нулей и возвести в квадрат, то в результате будет 2n нулей.
Примеры: - 6² = 36 - 60² = 3600 (два нуля → четыре нуля) - 600² = 360000 (четыре нуля → восемь нулей)
Обратное правило:
Если число содержит знакомый квадрат и чётное количество нулей, можно легко извлечь корень.
Пример 1: √900
900 = 9 × 100 (квадрат 9 и два нуля) √900 = √9 × √100 = 3 × 10 = 30
Пример 2: √2500
2500 = 25 × 100 (квадрат 25 и два нуля) √2500 = √25 × √100 = 5 × 10 = 50
Пример 3: √90000
90000 = 9 × 10000 (квадрат 9 и четыре нуля) √90000 = √9 × √10000 = 3 × 100 = 300
Пример 4: √360000
Хм, 36 - это квадрат 6, и четыре нуля. √360000 = 6 × 100 = 600
[МЕДИА: image_09] Описание: Визуальная схема правила с нулями: 6² = 36, 60² = 3600, 600² = 360000 Промпт: “educational diagram showing pattern: 6² = 36, 60² = 3600, 600² = 360000, with colored zeros and arrows, clear visual pattern, simple design”
Увеличение/уменьшение в 100 раз
Если подкоренное число увеличить в 100 раз, корень увеличится в 10 раз.
Примеры: - √49 = 7 - √4900 = 70 (число увеличили в 100 раз, корень в 10 раз)
Если подкоренное число увеличить в 10000 раз, корень увеличится в 100 раз.
- √49 = 7
- √490000 = 700 (число увеличили в 10000 раз, корень в 100 раз)
И наоборот - при уменьшении:
- √49 = 7
- √0,49 = 0,7 (число уменьшили в 100 раз, корень в 10 раз)
Корни из десятичных дробей
Это правило помогает извлекать корни из десятичных дробей!
Пример 1: √0,25
0,25 = 25⁄100 √0,25 = √25 / √100 = 5⁄10 = 0,5
Или через правило: √25 = 5 0,25 - это 25 уменьшенное в 100 раз Значит √0,25 = 5 уменьшенное в 10 раз = 0,5
Пример 2: √0,81
√81 = 9 √0,81 = 0,9 (уменьшили подкоренное в 100 раз, корень в 10 раз)
Пример 3: √0,0144
0,0144 = 144⁄10000 √0,0144 = √144 / √10000 = 12⁄100 = 0,12
Пример 4: √1,21
121 сдвинули запятую на два знака влево (разделили на 100) √121 = 11 √1,21 = 1,1 (корень уменьшили в 10 раз)
Пример 5: √12,25
1225 разделили на 100 √1225 = 35 √12,25 = 3,5
[МЕДИА: image_10] Описание: Схема извлечения √0,25 двумя способами: через дробь и через правило Промпт: “educational diagram showing two methods to find √0.25, one through fraction 25⁄100, another through decimal shift rule, side by side comparison, colorful arrows”
Правило: от 100 до 10000
Если число a принадлежит промежутку [100; 10000], то √a принадлежит промежутку [10; 100].
В этом случае используем таблицу квадратов!
Пример 1: √576
576 ∈ [100; 10000] → √576 ∈ [10; 100] Смотрим в таблицу: 24² = 576 Ответ: √576 = 24
Пример 2: √4225
Ближайшие квадраты: 60² = 3600 < 4225 70² = 4900 > 4225
Значит √4225 ∈ [60; 70]
Проверяем методом подбора: 65² = 4225 ✓
Ответ: √4225 = 65
Пример 3: √432 (не извлекается точно)
20² = 400 < 432 21² = 441 > 432
√432 ∈ [20; 21]
С точностью до десятых: 20,7² = 428,49 20,8² = 432,64
√432 ≈ 20,8
Часть 7: Тождественные преобразования с корнями
Теперь самое мощное! Преобразования, которые сильно упрощают вычисления.
Преобразование 1: Корень из произведения
Правило: √(a × b) = √a × √b (при a ≥ 0, b ≥ 0)
Корень из произведения равен произведению корней!
Пример 1: √(4 × 9)
Способ 1 (прямо): √(4 × 9) = √36 = 6
Способ 2 (через правило): √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6
Получилось одно и то же!
Пример 2: √(16 × 25)
√(16 × 25) = √16 × √25 = 4 × 5 = 20
Проверка: 16 × 25 = 400, √400 = 20 ✓
Пример 3: √(100 × 4 × 9)
√(100 × 4 × 9) = √100 × √4 × √9 = 10 × 2 × 3 = 60
[МЕДИА: image_11] Описание: Визуальное разложение √36 = √(4×9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6 Промпт: “educational diagram showing √36 = √(4×9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6, step by step with colorful boxes and arrows, clear math visualization”
Доказательство правила
Почему √(a × b) = √a × √b?
Возведём правую часть в квадрат: (√a × √b)² = (√a)² × (√b)² = a × b ✓
Получили подкоренное выражение левой части! Значит равенство верно.
Применение: разложение на множители
Это правило невероятно полезно для больших чисел!
Пример 4: √144
Можно просто: √144 = 12
Но можно разложить 144 на множители: 144 = 4 × 36 √144 = √(4 × 36) = √4 × √36 = 2 × 6 = 12
Или ещё проще: 144 = 12 × 12 = 12² √144 = √(12²) = 12
Пример 5: √256 через разложение
256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁸
Можно записать: 2⁸ = (2⁴)² √256 = √(2⁸) = √((2⁴)²) = 2⁴ = 16
Пример 6: √13456 (нет в таблице!)
Разложим на простые множители: 13456 = 2⁴ × 29²
Представим удобно: 2⁴ = (2²)² Значит: 13456 = (2²)² × 29² = (4)² × 29²
Теперь легко: √13456 = √((4)² × 29²) = √(4²) × √(29²) = 4 × 29 = 116
[МЕДИА: animation_03] Описание: Анимация разложения 144 на множители и извлечения корня Промпт: “animated factorization of 144 into 2×2×2×2×3×3, grouping into perfect squares, extracting root step by step, duration 10 seconds, educational style”
Применение: упрощение больших корней
Пример 7: √1024
1024 = 2¹⁰ = (2⁵)² √1024 = 2⁵ = 32
Пример 8: √10 × √40
Перемножим под одним корнем: √10 × √40 = √(10 × 40) = √400 = 20
Пример 9: √2 × √8 × √32
√2 × √8 × √32 = √(2 × 8 × 32) = √512
512 = 2⁹ → не очень удобно…
Попробуем иначе: 2 × 8 = 16 √2 × √8 = √16 = 4
Теперь: 4 × √32 32 = 16 × 2 √32 = √16 × √2 = 4√2
Итого: 4 × 4√2 = 16√2
Пример 10: √32 × √98
Разложим на множители: 32 = 2⁵ = 2⁴ × 2 = 16 × 2 98 = 2 × 49
√32 × √98 = √(32 × 98) = √(16 × 2 × 2 × 49) = √(16 × 4 × 49) = √16 × √4 × √49 = 4 × 2 × 7 = 56
Трюк: умножение и деление сомножителей
Правило: Если первый множитель умножить на n, а второй разделить на n, произведение не изменится.
Это работает и под корнем!
Пример 11: √(1,6 × 90)
Умножим 1,6 на 10: 1,6 × 10 = 16 Разделим 90 на 10: 90 ÷ 10 = 9
√(1,6 × 90) = √(16 × 9) = √16 × √9 = 4 × 3 = 12
Пример 12: √(3,6 × 0,4)
Умножим 3,6 на 10: 36 Разделим 0,4 на 10: 0,04
√(3,6 × 0,4) = √(36 × 0,04) = √36 × √0,04 = 6 × 0,2 = 1,2
[МЕДИА: image_12] Описание: Схема трюка с умножением и делением для √(1,6 × 90) = √(16 × 9) Промпт: “educational diagram showing trick: √(1.6 × 90) transformed to √(16 × 9) by multiplying 1.6 by 10 and dividing 90 by 10, colorful arrows showing transformation”
Обратное правило: от произведения корней к одному корню
√a × √b = √(a × b)
Это та же формула, просто записанная наоборот.
Пример 13: √10 × √40
√10 × √40 = √(10 × 40) = √400 = 20
Пример 14: √2 × √50
√2 × √50 = √(2 × 50) = √100 = 10
Пример 15: √3 × √12
√3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6
Преобразование 2: Корень из дроби
Правило: √(a/b) = √a / √b (при a ≥ 0, b > 0)
Корень из дроби равен дроби из корней!
Пример 1: √(4⁄9)
√(4⁄9) = √4 / √9 = 2⁄3
Проверка: (2⁄3)² = 4⁄9 ✓
Пример 2: √(25⁄36)
√(25⁄36) = √25 / √36 = 5⁄6
Пример 3: √(49⁄81)
√(49⁄81) = √49 / √81 = 7⁄9
[МЕДИА: image_13] Описание: Визуализация √(25⁄36) = √25 / √36 = 5⁄6 с дробными кругами Промпт: “educational illustration showing √(25⁄36) = 5⁄6, using visual fraction circles, one showing 25⁄36 area, another showing 5⁄6 as root, colorful and clear”
Доказательство
Возведём правую часть в квадрат: (√a / √b)² = (√a)² / (√b)² = a/b ✓
Получили подкоренное выражение! Правило работает.
Примеры с десятичными дробями
Пример 4: √0,09
Способ 1 (через правило): 0,09 = 9⁄100 √0,09 = √(9⁄100) = √9 / √100 = 3⁄10 = 0,3
Способ 2 (прямо): 0,3² = 0,09, значит √0,09 = 0,3 ✓
Пример 5: √0,16
√0,16 = √(16⁄100) = 4⁄10 = 0,4
Пример 6: √1,44
√1,44 = √(144⁄100) = 12⁄10 = 1,2
Пример 7: √(0,09 + 0,25)
√0,09 = 0,3 √0,25 = 0,5 0,3 + 0,5 = 0,8
Примеры со смешанными числами
Пример 8: √(1 целая 7⁄9)
Переведём в неправильную дробь: 1 целая 7⁄9 = 16⁄9
√(16⁄9) = √16 / √9 = 4⁄3 = 1 целая 1⁄3
Пример 9: √(2 целых 14⁄25)
2 целых 14⁄25 = 64⁄25
√(64⁄25) = √64 / √25 = 8⁄5 = 1 целая 3⁄5
Часть 8: Вынесение и внесение множителя
Вынесение множителя из-под корня
Это мощный приём упрощения!
Идея: Если под корнем есть произведение, где один множитель - полный квадрат, его можно “вынести” из-под корня.
√(a² × b) = a√b
Пример 1: √12
Разложим: 12 = 4 × 3 = 2² × 3 √12 = √(2² × 3) = √(2²) × √3 = 2√3
Мы “вытащили” множитель 2 из-под корня!
Пример 2: √50
50 = 25 × 2 = 5² × 2 √50 = √(5² × 2) = 5√2
Пример 3: √75
75 = 25 × 3 = 5² × 3 √75 = √(5² × 3) = 5√3
Пример 4: √48
48 = 16 × 3 = 4² × 3 √48 = 4√3
[МЕДИА: animation_04] Описание: Анимация вынесения множителя из √50 = √(25×2) = 5√2 Промпт: “animated demonstration of factoring out from radical, √50 → √(25×2) → 5√2, showing square root of 25 coming out as 5, duration 6 seconds, educational style”
Алгоритм вынесения:
- Разложи подкоренное выражение на множители
- Найди полные квадраты (числа вида a²)
- Вынеси корни из этих квадратов за знак корня
- Остальное оставь под корнем
Пример 5: √72
72 = 8 × 9 = 8 × 3² √72 = 3√8
Но можно ещё проще! 8 = 4 × 2 = 2² × 2 √8 = 2√2
Значит: √72 = 3 × 2√2 = 6√2
Или сразу: 72 = 36 × 2 = 6² × 2 √72 = 6√2
Пример 6: √200
200 = 100 × 2 = 10² × 2 √200 = 10√2
Пример 7: √18
18 = 9 × 2 = 3² × 2 √18 = 3√2
Пример 8: √300
300 = 100 × 3 = 10² × 3 √300 = 10√3
Примеры посложнее
Пример 9: √(11⁴)
Используем правило степени: 11⁴ = (11²)²
√(11⁴) = √((11²)²) = 11² = 121
Или иначе: 11⁴ = 11² × 11² √(11⁴) = √(11²) × √(11²) = 11 × 11 = 121
Пример 10: √(3⁴ × 5⁶)
3⁴ = (3²)² 5⁶ = (5³)²
√(3⁴ × 5⁶) = √((3²)² × (5³)²) = √(3²)² × √(5³)² = 3² × 5³ = 9 × 125 = 1125
[МЕДИА: image_14] Описание: Таблица примеров вынесения множителей из √12, √50, √75, √48 Промпт: “educational table showing factoring examples, √12=2√3, √50=5√2, √75=5√3, √48=4√3, each with step-by-step breakdown, colorful highlighting of perfect squares”
Внесение множителя под корень
Обратная операция!
a√b = √(a² × b)
Пример 1: 3√2
3√2 = √(3² × 2) = √(9 × 2) = √18
Пример 2: 5√3
5√3 = √(5² × 3) = √(25 × 3) = √75
Пример 3: 7√5
7√5 = √(7² × 5) = √(49 × 5) = √245
Пример 4: 10√2
10√2 = √(100 × 2) = √200
Зачем это нужно?
Внесение множителя помогает при: - Сравнении корней - Упрощении выражений - Решении уравнений
Пример 5: Что больше: 5√2 или √48?
Внесём множитель у первого: 5√2 = √(25 × 2) = √50
Теперь сравниваем: √50 vs √48 50 > 48, значит √50 > √48 Ответ: 5√2 больше!
Пример 6: Упростить 2√3 + 4√3
Это как 2x + 4x = 6x: 2√3 + 4√3 = 6√3
Или: 2√3 + √27
√27 = √(9 × 3) = 3√3
2√3 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
Часть 9: Действия с корнями
Сложение и вычитание корней
Важно! √a + √b ≠ √(a+b)
Корень из суммы НЕ равен сумме корней!
Пример: √9 + √16 = 3 + 4 = 7 Но √(9+16) = √25 = 5
7 ≠ 5 !
Корни можно складывать только если они “похожие” (одинаковое подкоренное выражение):
2√3 + 5√3 = 7√3 (как 2x + 5x = 7x) 4√5 - √5 = 3√5
Примеры со сложением:
Пример 1: √2 + 3√2 + 5√2
Всё одинаковое подкоренное: (1 + 3 + 5)√2 = 9√2
Пример 2: 7√3 - 2√3
(7 - 2)√3 = 5√3
Пример 3: √50 + √18
Вынесем множители: √50 = 5√2 √18 = 3√2
Теперь можем складывать: 5√2 + 3√2 = 8√2
Пример 4: √75 - √48 + √12
√75 = 5√3 √48 = 4√3 √12 = 2√3
5√3 - 4√3 + 2√3 = 3√3
[МЕДИА: image_15] Описание: Визуальное объяснение почему √9 + √16 ≠ √25 Промпт: “educational diagram showing common mistake, √9 + √16 = 3 + 4 = 7, but √(9+16) = √25 = 5, with big X showing these are not equal, warning colors”
Умножение корней
Уже знаем правило: √a × √b = √(a × b)
Примеры:
Пример 1: √2 × √8
√2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4
Пример 2: √5 × √20
√5 × √20 = √(5 × 20) = √100 = 10
Пример 3: 3√2 × 2√8
Умножаем числа перед корнями и корни отдельно: 3 × 2 = 6 √2 × √8 = √16 = 4
Итого: 6 × 4 = 24
Или: (3√2) × (2√8) = (3×2) × (√2 × √8) = 6 × √16 = 6 × 4 = 24
Пример 4: 5√3 × 2√12
5 × 2 = 10 √3 × √12 = √36 = 6
Итого: 10 × 6 = 60
Деление корней
Правило: √a ÷ √b = √(a ÷ b)
Примеры:
Пример 1: √50 ÷ √2
√50 ÷ √2 = √(50 ÷ 2) = √25 = 5
Пример 2: √72 ÷ √8
√72 ÷ √8 = √(72 ÷ 8) = √9 = 3
Пример 3: 12√10 ÷ 3√2
Делим числа и корни отдельно: 12 ÷ 3 = 4 √10 ÷ √2 = √(10÷2) = √5
Итого: 4√5
Часть 10: Продвинутые техники
Избавление от иррациональности в знаменателе
Если в знаменателе дроби стоит корень, его можно “убрать” умножением.
Пример 1: 1/√2
Умножим числитель и знаменатель на √2:
1/√2 = (1 × √2)/(√2 × √2) = √2/2
Пример 2: 3/√5
3/√5 = (3 × √5)/(√5 × √5) = 3√5/5
Пример 3: 5/(2√3)
5/(2√3) = (5 × √3)/(2√3 × √3) = 5√3/(2 × 3) = 5√3/6
[МЕДИА: image_16] Описание: Пошаговое избавление от иррациональности в 1/√2 = √2/2 Промпт: “step-by-step transformation showing rationalization of denominator, 1/√2 → multiply by √2/√2 → √2/2, clear arrows and highlighting, educational math style”
Сравнение корней
Способ 1: Возвести в квадрат (если оба положительные)
Что больше: √17 или 4?
4² = 16 (√17)² = 17
17 > 16, значит √17 > 4
Способ 2: Привести к одному виду
Что больше: 3√2 или √17?
Внесём множитель: 3√2 = √18
Сравниваем: √18 vs √17 18 > 17, значит √18 > √17 Ответ: 3√2 больше
Пример 3: Что больше: 2√5 или 5√2?
2√5 = √(4×5) = √20 5√2 = √(25×2) = √50
√50 > √20, значит 5√2 больше
Квадратные уравнения с корнями
Пример 1: x² = 7
x = ±√7
Пример 2: (x-3)² = 16
x-3 = ±4 x = 3±4
x₁ = 7, x₂ = -1
Пример 3: 2x² - 18 = 0
2x² = 18 x² = 9 x = ±3
Пример 4: (2x+1)² = 25
2x+1 = ±5
Первый случай: 2x+1 = 5 → x = 2 Второй случай: 2x+1 = -5 → x = -3
Часть 11: ОГРОМНАЯ ПРАКТИКА! 💪
Уровень 1: Разминка 🟢 (Очень лёгкий)
Задание 1: Вычисли √64
Задание 2: Найди √100
Задание 3: Чему равен √1?
Задание 4: Вычисли √49
Задание 5: Найди √0
Задание 6: Вычисли √36
Задание 7: Найди √81
Задание 8: Чему равен (√5)²?
Задание 9: Вычисли (√10)²
Задание 10: Найди √(7²)
Уровень 2: Легко 🟢
Задание 11: Вычисли √144
Задание 12: Найди √225
Задание 13: Вычисли √(16 × 25)
Задание 14: Найди √(4⁄9)
Задание 15: Вычисли √0,25
Задание 16: Найди 2√16
Задание 17: Вычисли √9 + √16
Задание 18: Найди √100 - √64
Задание 19: Реши уравнение √x = 9
Задание 20: Реши уравнение √x = 5
Уровень 3: Средний 🟡
Задание 21: Упрости √12
Задание 22: Упрости √50
Задание 23: Упрости √48
Задание 24: Найди √900
Задание 25: Вычисли √2500
Задание 26: Внеси множитель под корень: 3√5
Задание 27: Внеси множитель: 7√2
Задание 28: Вычисли √18 + √32
Задание 29: Вычисли √75 - √12
Задание 30: Реши уравнение √(x+5) = 4
Уровень 4: Средний+ 🟡
Задание 31: Найди приближённое значение √10 с точностью до десятых
Задание 32: Найди √5 с точностью до сотых
Задание 33: Вычисли √8 × √18
Задание 34: Упрости (3√2) × (5√8)
Задание 35: Вычисли √72 ÷ √2
Задание 36: Упрости 12√50 ÷ 3√2
Задание 37: Реши уравнение 3√x = 12
Задание 38: Что больше: 4√3 или √50?
Задание 39: Упрости √0,36
Задание 40: Вычисли √1,44
Уровень 5: Сложный 🔴
Задание 41: Упрости √(8 × 18 × 32)
Задание 42: Вычисли √(3⁴ × 5⁶)
Задание 43: Реши уравнение √(2x-3) = 5
Задание 44: Реши уравнение x² - 7 = 0
Задание 45: Упрости 1/√5
Задание 46: Упрости 3/(2√3)
Задание 47: Вычисли √200 + √50 - √18
Задание 48: Вычисли √0,0144
Задание 49: Реши систему уравнений: x + y = 10 xy = 21
Задание 50: Докажи, что √2 + √3 < √10
Часть 12: Частые ошибки - НЕ делай так! ❌
Ошибка 1: Корень из суммы
❌ Неправильно: √(a + b) = √a + √b
✅ Правильно: √(a + b) - это ОТДЕЛЬНОЕ выражение, нельзя разбивать!
Пример: ❌ √(9 + 16) = √9 + √16 = 3 + 4 = 7 (НЕВЕРНО!) ✅ √(9 + 16) = √25 = 5 (ВЕРНО!)
💡 Почему важно: Это одна из самых распространённых ошибок! Запомни: корень из суммы не равен сумме корней. Работает только для произведения!
Ошибка 2: Корень из квадрата
❌ Неправильно: √(a²) = a
✅ Правильно: √(a²) = |a| (модуль!)
Пример: ❌ √((-3)²) = -3 (НЕВЕРНО!) ✅ √((-3)²) = √9 = 3 = |-3| (ВЕРНО!)
💡 Почему важно: Корень всегда даёт неотрицательное значение! Даже если под корнем отрицательное число в квадрате, результат положительный.
Ошибка 3: Путаница (√a)² и √(a²)
❌ Неправильно: (√a)² = √(a²)
✅ Правильно: Это РАЗНЫЕ вещи! - (√a)² = a (просто a) - √(a²) = |a| (модуль a)
Пример: (√5)² = 5, но √(5²) = √25 = 5 = |5|
Тут результаты совпали случайно, потому что 5 положительное!
Но: (√(-3))² не существует (нет корня из -3) А √((-3)²) = √9 = 3 существует!
💡 Почему важно: Порядок операций имеет значение!
Ошибка 4: Забывать ограничения
❌ Неправильно: Не проверять, можно ли извлечь корень
✅ Правильно: Подкоренное выражение должно быть ≥ 0
Примеры: - √4 существует ✓ - √0 существует ✓ - √(-4) НЕ существует ❌
💡 Почему важно: В действительных числах нельзя извлечь корень из отрицательного числа!
Ошибка 5: Неправильное внесение под корень
❌ Неправильно: a√b = √(a × b)
✅ Правильно: a√b = √(a² × b)
Пример: ❌ 3√5 = √(3 × 5) = √15 (НЕВЕРНО!) ✅ 3√5 = √(9 × 5) = √45 (ВЕРНО!)
💡 Почему важно: Нужно возводить множитель в квадрат!
Ошибка 6: Упрощение корня с разностью
❌ Неправильно: √(a - b) = √a - √b
✅ Правильно: √(a - b) нельзя упростить так!
Пример: ❌ √(25 - 9) = √25 - √9 = 5 - 3 = 2 (НЕВЕРНО!) ✅ √(25 - 9) = √16 = 4 (ВЕРНО!)
💡 Почему важно: Аналогично сумме - для разности тоже не работает разбиение!
Ошибка 7: Сокращение корней
❌ Неправильно: √(2a) / √2 = √a
✅ Правильно: Так можно! √(2a) / √2 = √(2a/2) = √a ✓
Но часто делают ошибку в более сложных случаях:
❌ (√2 + √3) / √2 = 1 + √3 (НЕВЕРНО!) ✅ (√2 + √3) / √2 = √2/√2 + √3/√2 = 1 + √(3⁄2) (ВЕРНО!)
💡 Почему важно: Нельзя “сокращать” член суммы с знаменателем!
Главное запомнить - квинтэссенция темы! ✨
Определения
✅ Квадратный корень √a - число, квадрат которого равен a ✅ Арифметический корень - только неотрицательное значение ✅ Подкоренное выражение должно быть ≥ 0
Основные правила
✅ √1 = 1, √0 = 0 ✅ (√a)² = a ✅ √(a²) = |a| (модуль!) ✅ √(-a) не существует в действительных числах
Операции с корнями
✅ √(a × b) = √a × √b (произведение) ✅ √(a/b) = √a / √b (деление) ✅ √a × √b = √(a × b) ✅ a√b = √(a² × b) (внесение множителя) ✅ √(a² × b) = a√b (вынесение множителя)
Что НЕ работает
❌ √(a + b) ≠ √a + √b ❌ √(a - b) ≠ √a - √b ❌ √(a²) ≠ a (нужен модуль!)
Приближённые вычисления
✅ Находим границы: √1 < √3 < √4, т.е. 1 < √3 < 2 ✅ Проверяем десятичные дроби методом подбора ✅ С недостатком - меньше, с избытком - больше
Наизусть знать квадраты
✅ От 1² до 10² обязательно ✅ От 11² до 20² очень желательно
Всё! Теперь ты мастер квадратных корней! 🎓
Если остались вопросы - не стесняйся, спрашивай AI-тьютора!
Продолжай обучение
📌 Следующая тема: Алгоритм извлечения квадратного корня
📌 Предыдущая тема: Тождественные преобразования многочленов
Урок создан Math Tutor © 2025. Математика с AI-тьютором