Тождественные преобразования многочленов: от простого к мастерству 🎯

Тождественные преобразования — это алгебраическая магия! ✨ Мы превращаем сложные выражения в простые, раскладываем многочлены как конструктор и находим скрытые закономерности.

Сегодня научимся двум мощнейшим приёмам: 1. Возведение многочленов в высокие степени (не только ² и ³!) 2. Выделение полного квадрата (это как находить квадратный корень наоборот)

Эти техники — основа для решения квадратных уравнений, построения графиков и многого другого! 🚀

Возведение двучлена в степень

Двучлен — многочлен из двух членов. Например: a + b, x − 3, 2y + 5.

Мы уже знаем формулы: - (a + b)² = a² + 2ab + b² - (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

А что если нужно возвести в 4-ю, 5-ю или 10-ю степень? 🤔

Возведение в четвёртую степень

Задача: Найти (a + b)⁴

Способ 1: Через куб

Представим (a + b)⁴ как произведение:

(a + b)⁴ = (a + b) · (a + b)³

Заменяем (a + b)³ на известную формулу:

= (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:

Умножаем a:

a · a³ = a⁴
a · 3a²b = 3a³b
a · 3ab² = 3a²b²
a · b³ = ab³

Умножаем b:

b · a³ = a³b
b · 3a²b = 3a²b²
b · 3ab² = 3ab³
b · b³ = b⁴

Собираем всё вместе:

a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

Приводим подобные:

a⁴ + (3a³b + a³b) + (3a²b² + 3a²b²) + (ab³ + 3ab³) + b⁴
= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Ответ: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема пошагового умножения (a+b)(a³+3a²b+3ab²+b³) с цветовым выделением Промпт: “educational diagram showing step-by-step multiplication of binomial and trinomial, color-coded terms combining, arrows showing like terms, mathematical illustration, clean design, white background”

Способ 2: Через квадрат квадрата

Представим (a + b)⁴ как:

(a + b)⁴ = [(a + b)²]²

Сначала находим (a + b)²:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Теперь возводим этот трёхчлен в квадрат:

[(a + b)²]² = (a² + 2ab + b²)²

Используем формулу квадрата суммы трёх выражений:

(A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC

Где A = a², B = 2ab, C = b²:

(a²)² + (2ab)² + (b²)² + 2·a²·2ab + 2·a²·b² + 2·2ab·b²
= a⁴ + 4a²b² + b⁴ + 4a³b + 2a²b² + 4ab³
= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Ответ тот же! ✅

Числовой пример: (x + 1)⁴

Применим формулу:

(x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³·1 + 6x²·1² + 4x·1³ + 1⁴
         = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1

Проверка при x = 2:

(2 + 1)⁴ = 3⁴ = 81

2⁴ + 4·2³ + 6·2² + 4·2 + 1
= 16 + 32 + 24 + 8 + 1 = 81 ✅

Треугольник Паскаля

Коэффициенты при возведении двучлена в степень образуют треугольник Паскаля:

Степень 0:                1
Степень 1:              1   1
Степень 2:            1   2   1
Степень 3:          1   3   3   1
Степень 4:        1   4   6   4   1
Степень 5:      1   5  10  10   5   1

Каждое число = сумма двух чисел над ним!

Применение:

(a + b)⁵ = 1·a⁵ + 5·a⁴b + 10·a³b² + 10·a²b³ + 5·ab⁴ + 1·b⁵

[МЕДИА: image_02] Описание: Треугольник Паскаля с выделением строк для разных степеней Промпт: “Pascal’s triangle educational diagram, color-coded rows for different powers, arrows showing how numbers are calculated, mathematical illustration for students, white background”

Возведение трёхчлена в степень

Трёхчлен — многочлен из трёх членов. Например: a + b + c, x² + 2x + 1.

Квадрат трёхчлена

Задача: Возвести (a + b + c)² в квадрат

Трюк с группировкой

Представим трёхчлен как сумму двух частей:

(a + b + c)² = [(a + b) + c]²

Теперь это квадрат суммы двух выражений! Применяем формулу:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

Где A = (a + b), B = c:

[(a + b)]² + 2(a + b)·c + c²

Раскрываем (a + b)²:

= (a² + 2ab + b²) + 2ac + 2bc + c²

Переставляем члены:

= a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Формула квадрата трёхчлена:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Запомни: квадраты всех членов + удвоенные произведения каждой пары!

Пример 1: (x + y + 2)²

Применяем формулу:

= x² + y² + 2² + 2·x·y + 2·x·2 + 2·y·2
= x² + y² + 4 + 2xy + 4x + 4y

Проверка при x = 1, y = 1:

(1 + 1 + 2)² = 4² = 16

1² + 1² + 4 + 2·1·1 + 4·1 + 4·1
= 1 + 1 + 4 + 2 + 4 + 4 = 16 ✅

Пример 2: (2a − 3b + c)²

Внимание на знаки!

= (2a)² + (−3b)² + c² + 2·2a·(−3b) + 2·2a·c + 2·(−3b)·c
= 4a² + 9b² + c² − 12ab + 4ac − 6bc

Квадрат четырёхчлена

Пример: (a + b + c + d)²

Группируем: [(a + b) + (c + d)]²

= (a + b)² + 2(a + b)(c + d) + (c + d)²

Раскрываем каждую часть:

= (a² + 2ab + b²) + 2(ac + ad + bc + bd) + (c² + 2cd + d²)
= a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Общее правило: Квадраты всех членов + удвоенные произведения всех пар!

Выделение полного квадрата — главная техника! 🌟

Это обратная операция к раскрытию скобок. Мы превращаем трёхчлен вида ax² + bx + c в форму (Mx + N)² + K.

Зачем это нужно?

1. Решение квадратных уравнений (следующие уроки)
2. Нахождение вершины параболы (минимум/максимум)
3. Упрощение выражений
4. Доказательства неравенств

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим числовое выражение: 9 + 6 + 2

Это можно представить как площадь фигуры, составленной из: - Квадрата 3×3 (площадь 9) - Прямоугольника 3×2 (площадь 6) - Прямоугольника 1×2 (площадь 2)

┌─────────┬──┐
│         │  │
│   9     │2 │
│  (3×3)  │  │
│         │  │
├─────────┴──┤
│     6      │
│   (3×2)    │
└────────────┘

Общая площадь: 9 + 6 + 2 = 17

Теперь попробуем достроить до квадрата!

Добавим прямоугольник 3×1 (площадь 3) к правой стороне:

┌─────────┬───┐
│         │   │
│   9     │ 3 │
│  (3×3)  │   │
│         │   │
├─────────┼───┤
│    6    │ 1 │
└─────────┴───┘

Добавим квадрат 1×1 (площадь 1) в угол:

┌─────────┬───┐
│         │ 3 │
│   9     ├───┤
│  (3×3)  │ 1 │
│         │   │
├─────────┴───┤
│      6      │
└─────────────┘

Получился квадрат 4×4! Площадь = 16 = (3 + 1)² = 4²

Но мы добавили лишнюю площадь 1 (из нашего прямоугольника 2 мы использовали только 1).

Итого: 9 + 6 + 2 = (3 + 1)² + 1 = 16 + 1 = 17 ✅

Это и есть выделение полного квадрата!

[МЕДИА: image_03] Описание: Геометрическая интерпретация выделения полного квадрата через цветные прямоугольники Промпт: “geometric visualization of completing the square, colored rectangles forming a square, area calculations shown, educational math diagram, flat design, white background, suitable for algebra students”

Алгоритм выделения полного квадрата

Для трёхчлена ax² + bx + c нужно получить (Mx + N)² + K

Пошаговый алгоритм:

Шаг 1: Определи M (коэффициент при x в скобках)

M² = a  →  M = √a

Шаг 2: Найди N (свободный член в скобках)

2·M·N = b  →  N = b/(2M)

Шаг 3: Построй полный квадрат

(M·x + N)² = M²x² + 2MNx + N²

Шаг 4: Скорректируй свободный член

K = c − N²

Итого: ax² + bx + c = (Mx + N)² + K

Пример 1: x² + 6x + 8

Шаг 1: M = √1 = 1, значит M·x = x

Шаг 2: 2·1·N = 6 → N = 3

Шаг 3: (x + 3)² = x² + 6x + 9

Шаг 4: Но у нас +8, а не +9!

x² + 6x + 8 = (x + 3)² − 9 + 8 = (x + 3)² − 1

Проверка:

(x + 3)² − 1 = x² + 6x + 9 − 1 = x² + 6x + 8 ✅

Пример 2: 4x² + 16x + 19

Шаг 1: M = √4 = 2, значит M·x = 2x

Шаг 2: 2·2·N = 16 → 4N = 16 → N = 4

Шаг 3: (2x + 4)² = 4x² + 16x + 16

Шаг 4: У нас +19:

4x² + 16x + 19 = (2x + 4)² − 16 + 19 = (2x + 4)² + 3

Проверка:

(2x + 4)² + 3 = 4x² + 16x + 16 + 3 = 4x² + 16x + 19 ✅

Пример 3: x² + 2x + 2

Шаг 1: M = 1

Шаг 2: 2·1·N = 2 → N = 1

Шаг 3: (x + 1)² = x² + 2x + 1

Шаг 4:

x² + 2x + 2 = (x + 1)² − 1 + 2 = (x + 1)² + 1

Пример 4: x² + 3x + 2

Здесь проблема: 3x нельзя записать как 2·1·N с целым N!

Решение: Умножим 3x на ²⁄₂:

3x = (2x · 3)/2 = 2·x·(3/2)

Значит, N = ³⁄₂:

x² + 3x + 2
= x² + 2·x·(3/2) + (3/2)² − (3/2)² + 2
= (x + 3/2)² − 9/4 + 2
= (x + 3/2)² − 9/4 + 8/4
= (x + 3/2)² − 1/4

Проверка:

(x + 3/2)² − 1/4
= x² + 3x + 9/4 − 1/4
= x² + 3x + 8/4
= x² + 3x + 2 ✅

Пример 5: 9x² + 18x + 7

Шаг 1: M = √9 = 3

Шаг 2: 2·3·N = 18 → N = 3

Шаг 3: (3x + 3)² = 9x² + 18x + 9

Шаг 4:

9x² + 18x + 7 = (3x + 3)² − 9 + 7 = (3x + 3)² − 2

Пример 6: x² − 10x + 1

Внимание: Знак минус!

Шаг 1: M = 1

Шаг 2: 2·1·N = −10 → N = −5

Шаг 3: (x − 5)² = x² − 10x + 25

Шаг 4:

x² − 10x + 1 = (x − 5)² − 25 + 1 = (x − 5)² − 24

Пример 7: 16x² + 4x + 1

Шаг 1: M = √16 = 4

Шаг 2: 2·4·N = 4 → N = ¹⁄₂

Шаг 3: (4x + ¹⁄₂)² = 16x² + 4x + ¹⁄₄

Шаг 4:

16x² + 4x + 1 = (4x + 1/2)² − 1/4 + 1 = (4x + 1/2)² + 3/4

Пример 8: 2x² + 8x + 1

Если коэффициент при x² не полный квадрат, вынеси его за скобки:

2x² + 8x + 1 = 2(x² + 4x) + 1

Теперь выделяем полный квадрат из x² + 4x:

x² + 4x = (x + 2)² − 4

Подставляем обратно:

2(x² + 4x) + 1 = 2[(x + 2)² − 4] + 1
                = 2(x + 2)² − 8 + 1
                = 2(x + 2)² − 7

Применение: разложение на множители

После выделения полного квадрата можно использовать формулу разности квадратов!

Пример: x² + 6x + 8

Шаг 1: Выделяем полный квадрат

x² + 6x + 8 = (x + 3)² − 1

Шаг 2: Замечаем разность квадратов

(x + 3)² − 1 = (x + 3)² − 1²

Шаг 3: Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b)

= [(x + 3) − 1][(x + 3) + 1]
= (x + 2)(x + 4)

Проверка:

(x + 2)(x + 4) = x² + 4x + 2x + 8 = x² + 6x + 8 ✅

Нахождение минимума/максимума

Полный квадрат всегда ≥ 0!

Пример: Найти минимум x² + 6x + 11

Выделяем полный квадрат:

x² + 6x + 11 = (x + 3)² + 2

Так как (x + 3)² ≥ 0, минимальное значение:

min = 0 + 2 = 2 (при x = −3)

Проверка при x = −3:

(−3)² + 6·(−3) + 11 = 9 − 18 + 11 = 2 ✅

[МЕДИА: image_04] Описание: График параболы y = x² + 6x + 11 с отмеченной вершиной (минимумом) Промпт: “parabola graph showing y = x² + 6x + 11, vertex point marked at (-3, 2), coordinate grid, educational math visualization, clean design, suitable for algebra students”

Практика: 25 заданий

Возведение в степень (1-5)

Задание 1: Возвести (a + 2)⁴ в четвёртую степень

= a⁴ + 4a³·2 + 6a²·2² + 4a·2³ + 2⁴
= a⁴ + 8a³ + 24a² + 32a + 16

Задание 2: (x + y + 1)²

= x² + y² + 1² + 2xy + 2x + 2y
= x² + y² + 1 + 2xy + 2x + 2y

Задание 3: (2m − 3)⁴

= (2m)⁴ + 4(2m)³(−3) + 6(2m)²(−3)² + 4(2m)(−3)³ + (−3)⁴
= 16m⁴ − 96m³ + 216m² − 216m + 81

Задание 4: (a + b + c + d)²

= a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Задание 5: (x − y + 2)²

= x² + (−y)² + 2² + 2x(−y) + 2x·2 + 2(−y)·2
= x² + y² + 4 − 2xy + 4x − 4y

Выделение полного квадрата (6-15)

Задание 6: x² + 4x + 7

M = 1, N = 2
= (x + 2)² − 4 + 7 = (x + 2)² + 3

Задание 7: x² − 8x + 10

M = 1, N = −4
= (x − 4)² − 16 + 10 = (x − 4)² − 6

Задание 8: 4x² + 12x + 5

M = 2, N = 3
= (2x + 3)² − 9 + 5 = (2x + 3)² − 4

Задание 9: x² + 5x + 3

N = 5/2
= (x + 5/2)² − 25/4 + 3 = (x + 5/2)² − 13/4

Задание 10: 9x² + 6x + 2

M = 3, N = 1
= (3x + 1)² − 1 + 2 = (3x + 1)² + 1

Задание 11: x² − 6x + 1

= (x − 3)² − 9 + 1 = (x − 3)² − 8

Задание 12: 25x² + 10x + 3

M = 5, N = 1
= (5x + 1)² − 1 + 3 = (5x + 1)² + 2

Задание 13: 2x² + 12x + 5

= 2(x² + 6x) + 5
= 2[(x + 3)² − 9] + 5
= 2(x + 3)² − 18 + 5
= 2(x + 3)² − 13

Задание 14: x² + x + 1

N = 1/2
= (x + 1/2)² − 1/4 + 1 = (x + 1/2)² + 3/4

Задание 15: 16x² − 8x + 5

M = 4, N = −1
= (4x − 1)² − 1 + 5 = (4x − 1)² + 4

Разложение на множители (16-20)

Задание 16: x² + 8x + 15

= (x + 4)² − 16 + 15 = (x + 4)² − 1
= (x + 4 − 1)(x + 4 + 1)
= (x + 3)(x + 5)

Задание 17: x² − 2x − 3

= (x − 1)² − 1 − 3 = (x − 1)² − 4
= (x − 1 − 2)(x − 1 + 2)
= (x − 3)(x + 1)

Задание 18: x² + 10x + 21

= (x + 5)² − 25 + 21 = (x + 5)² − 4
= (x + 5 − 2)(x + 5 + 2)
= (x + 3)(x + 7)

Задание 19: x² − 4x − 5

= (x − 2)² − 4 − 5 = (x − 2)² − 9
= (x − 2 − 3)(x − 2 + 3)
= (x − 5)(x + 1)

Задание 20: x² + 12x + 32

= (x + 6)² − 36 + 32 = (x + 6)² − 4
= (x + 6 − 2)(x + 6 + 2)
= (x + 4)(x + 8)

Нахождение минимума/максимума (21-25)

Задание 21: Найти минимум x² + 8x + 20

= (x + 4)² − 16 + 20 = (x + 4)² + 4
Минимум = 4 при x = −4

Задание 22: Найти минимум x² − 6x + 10

= (x − 3)² − 9 + 10 = (x − 3)² + 1
Минимум = 1 при x = 3

Задание 23: Найти минимум 2x² + 8x + 11

= 2(x² + 4x) + 11
= 2[(x + 2)² − 4] + 11
= 2(x + 2)² − 8 + 11
= 2(x + 2)² + 3
Минимум = 3 при x = −2

Задание 24: Найти максимум −x² + 4x − 1

= −(x² − 4x) − 1
= −[(x − 2)² − 4] − 1
= −(x − 2)² + 4 − 1
= −(x − 2)² + 3
Максимум = 3 при x = 2

Задание 25: При каком x выражение x² + 10x + 30 принимает наименьшее значение?

= (x + 5)² − 25 + 30 = (x + 5)² + 5
Наименьшее значение = 5 при x = −5

Частые ошибки

Главное запомнить

Связь с другими темами

Откуда пришли: - Многочлены — операции с многочленами - ФСУ — базовые формулы - Степени — правила степеней

Куда ведёт: - Квадратные уравнения — метод полного квадрата - Теорема Виета — связь корней и коэффициентов - Разложение трёхчлена — через корни - Функции и графики — нахождение вершины параболы

Где применяется: - Решение квадратных уравнений - Оптимизация (поиск минимума/максимума) - Интегрирование (высшая математика) - Физика (траектории, колебания)

Интересные факты

💡 Треугольник Паскаля открыт в 11 веке китайским математиком Цзя Сянем, но назван в честь Блеза Паскаля (17 век).

💡 Метод полного квадрата использовали ещё в Древнем Вавилоне для решения квадратных уравнений!

💡 В физике выделение полного квадрата помогает находить экстремумы энергии систем.

💡 Биномиальные коэффициенты (из треугольника Паскаля) используются в теории вероятностей и комбинаторике.

💡 Квадратичные формы (выделение полного квадрата для нескольких переменных) — основа линейной алгебры!

Лайфхаки для запоминания 🎯

1. Треугольник Паскаля — твой друг
Запомни первые 5 строк — этого хватит для большинства задач!

2. Формула трёхчлена: “Квадраты + удвоения”
(a + b + c)² = квадраты всех + удвоенные произведения пар

3. Выделение квадрата: “Половина b — это N”
Для x² + bx: N = b/2, потом (x + N)² и корректируй

4. Проверка — твоё спасение
ВСЕГДА раскрывай скобки и проверяй результат!

5. Минимум — там, где скобка = 0
(x + 5)² + 3: минимум = 3 при x = −5

6. Геометрия помогает
Представляй выражения как площади — легче понять!

💡 Совет: Тождественные преобразования — это как фокусы 🎩✨. Сначала кажется, что откуда-то берутся новые члены или куда-то деваются старые. Но на самом деле всё тождественно равно — просто записано в другой форме! Понимание этого — ключ к успеху в алгебре.

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

💪 Начать тренировку