Деление многочленов: от простого к мастерству
Деление многочленов: от простого к мастерству ➗
Продолжаем изучать многочлены. Мы уже умеем их складывать, вычитать и умножать. Сегодня научимся их делить!
Представь: ты строишь в Minecraft прямоугольный дом. Знаешь площадь пола (это произведение длины на ширину) и знаешь ширину. Как найти длину? Правильно — разделить площадь на ширину! 🏠
Та же логика работает с многочленами. Если умножение двух многочленов даёт третий многочлен, то деление третьего на один из сомножителей вернёт нам второй сомножитель.
Зачем делить многочлены?
Практические применения:
Упрощение дробных выражений
(x² + 5x + 6)/(x + 2) можно упростить до (x + 3)Разложение на множители
Если знаем, что многочлен делится на (x - 2), можем найти второй множительРешение уравнений
Деление помогает находить корни многочленовГеометрия
Площадь делим на одну сторону → получаем другую сторону
Деление многочлена на одночлен
Это самый простой случай! Как раздать конфеты поровну друзьям 🍬 — каждому по одинаковой доле.
Правило
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно: 1. Разделить каждый член многочлена на этот одночлен 2. Сложить полученные частные
Связь с дробями
Деление многочлена на одночлен очень похоже на сложение дробей с одинаковыми знаменателями!
Вспомним дроби:
1 2 3 1 + 2 + 3 6
─ + ─ + ─ = ───────── = ─
4 4 4 4 4
Обратная операция:
6 1 + 2 + 3 1 2 3
─ = ───────── = ─ + ─ + ─
4 4 4 4 4
Тоже самое с многочленами:
ax + bx + cx ax bx cx
──────────── = ── + ── + ── = a + b + c
x x x x
[МЕДИА: image_01] Описание: Визуализация деления многочлена на одночлен через дроби Промпт: “educational illustration showing polynomial division as fraction breakdown, arrows splitting numerator into separate fractions with common denominator, colorful mathematical notation, minimalist style, white background, suitable for students aged 12-15”
Пример 1. Базовый
Разделить: 15x²y³ + 10xy² + 5xy³ на одночлен xy
Решение:
15x²y³ + 10xy² + 5xy³ 15x²y³ 10xy² 5xy³
─────────────────────── = ────── + ───── + ─────
xy xy xy xy
Делим каждую дробь:
Первая дробь:
15x²y³
────── = 15xy²
xy
Коэффициенты: 15 ÷ 1 = 15
Степени x: x² ÷ x = x²⁻¹ = x
Степени y: y³ ÷ y = y³⁻¹ = y²
Вторая дробь:
10xy²
───── = 10y
xy
Коэффициенты: 10 ÷ 1 = 10
Степени x: x ÷ x = x⁰ = 1
Степени y: y² ÷ y = y
Третья дробь:
5xy³
──── = 5y²
xy
Ответ: 15xy² + 10y + 5y²
Проверка: Умножим результат на делитель
(15xy² + 10y + 5y²) · xy = 15x²y³ + 10xy² + 5xy³ ✅
Пример 2. С отрицательными коэффициентами
Разделить: 8m³n + 24m²n² на 8m²n
Решение:
8m³n + 24m²n² 8m³n 24m²n²
───────────── = ──── + ──────
8m²n 8m²n 8m²n
Первая дробь:
8m³n
──── = m
8m²n
8 ÷ 8 = 1, m³ ÷ m² = m, n ÷ n = 1
Вторая дробь:
24m²n²
────── = 3n
8m²n
24 ÷ 8 = 3, m² ÷ m² = 1, n² ÷ n = n
Ответ: m + 3n
Пример 3. С вычитанием
Разделить: 4c²d − 12c⁴d³ на −4c²d
Решение:
4c²d − 12c⁴d³ 4c²d 12c⁴d³
───────────── = ──── − ──────
−4c²d −4c²d −4c²d
Первая дробь:
4c²d
──── = −1
−4c²d
4 ÷ (−4) = −1, c² ÷ c² = 1, d ÷ d = 1
Вторая дробь:
12c⁴d³
────── = −3c²d²
−4c²d
12 ÷ (−4) = −3, c⁴ ÷ c² = c², d³ ÷ d = d²
Внимание на знак! Вычитание отрицательного числа:
−1 − (−3c²d²) = −1 + 3c²d² = 3c²d² − 1
Ответ: −1 + 3c²d² или 3c²d² − 1
Пример 4. Сложный
Разделить: 18x⁵y⁴ − 27x⁴y⁵ + 9x³y³ на −9x³y³
Решение:
18x⁵y⁴ − 27x⁴y⁵ + 9x³y³ 18x⁵y⁴ 27x⁴y⁵ 9x³y³
─────────────────────── = − ────── + ────── − ──────
−9x³y³ 9x³y³ 9x³y³ 9x³y³
Делим каждый член:
1) 18x⁵y⁴ ÷ (−9x³y³) = −2x²y 2) −27x⁴y⁵ ÷ (−9x³y³) = 3xy² 3) 9x³y³ ÷ (−9x³y³) = −1
Ответ: −2x²y + 3xy² − 1
Проверка:
(−2x²y + 3xy² − 1) · (−9x³y³)
= 18x⁵y⁴ − 27x⁴y⁵ + 9x³y³ ✅
Деление одночлена на многочлен
Важно: Не существует тождественного преобразования для деления одночлена на многочлен!
Почему нельзя?
Попробуем разделить 2xy на (5x + 3y + 5):
2xy
────────
5x + 3y + 5
Результатом должен быть многочлен, который при умножении на (5x + 3y + 5) даёт 2xy.
Но перемножение многочленов всегда даёт многочлен, а не одночлен!
Когда можно вычислить?
Если даны конкретные значения переменных:
Пример: Найти значение 8x/(2x + 3) при x = 2
8 · 2 16 16
─────────── = ──────── = ── ≈ 2,29
2 · 2 + 3 4 + 3 7
Деление многочлена на многочлен
Это главная тема урока! Деление выполняется уголком, как обычные числа.
Общий принцип
Если умножить многочлен (x + 5) на многочлен (x + 3), получится:
(x + 5)(x + 3) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15
Обратная операция: если разделить x² + 8x + 15 на (x + 3), получим (x + 5):
x² + 8x + 15
─────────── = x + 5
x + 3
Правило проверки: Произведение ÷ Множитель = Второй множитель
Алгоритм деления уголком
ВАЖНО: Перед делением упорядочь члены многочленов в порядке убывания степеней!
Шаги:
Находим первый член частного
Первый член делимого ÷ Первый член делителяУмножаем и записываем
Частное × Делитель, записываем под делимымВычитаем
Из делимого вычитаем полученное произведениеПовторяем
Пока степень остатка ≥ степени делителя
Пример 5. Базовый — пошагово
Разделить: x² + 8x + 15 на (x + 3)
Записываем уголком:
x² + 8x + 15 │ x + 3
│ ─────
│
Шаг 1: Первый член частного
Делим первый член делимого на первый член делителя:
x² ÷ x = x
Записываем x в частном:
x² + 8x + 15 │ x + 3
│ ─────
│ x
Шаг 2: Умножаем x на (x + 3)
x · (x + 3) = x² + 3x
Записываем под делимым (подобные под подобными):
x² + 8x + 15 │ x + 3
x² + 3x │ ─────
│ x
Шаг 3: Вычитаем
(x² + 8x + 15) − (x² + 3x) = x² + 8x + 15 − x² − 3x = 5x + 15
x² + 8x + 15 │ x + 3
x² + 3x │ ─────
────────── │ x
5x + 15 │
Шаг 4: Повторяем процесс
Делим 5x на x:
5x ÷ x = 5
Записываем в частном:
x² + 8x + 15 │ x + 3
x² + 3x │ ─────
────────── │ x + 5
5x + 15 │
Умножаем 5 на (x + 3):
5 · (x + 3) = 5x + 15
Записываем и вычитаем:
x² + 8x + 15 │ x + 3
x² + 3x │ ─────
────────── │ x + 5
5x + 15 │
5x + 15 │
────────
0 │
Деление завершено!
Ответ: x + 5
Проверка:
(x + 5)(x + 3) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15 ✅
[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация деления многочленов уголком с пошаговым заполнением Промпт: “animated mathematical sequence showing polynomial long division, terms appearing step by step with colored highlights, arrows showing operations, clean educational style, 10-second loop, suitable for algebra students”
Пример 6. С отрицательными членами
Разделить: x² − 8x + 7 на (x − 7)
Упорядочиваем (уже упорядочено) и записываем уголком:
x² − 8x + 7 │ x − 7
│ ─────
Шаг 1: x² ÷ x = x
x² − 8x + 7 │ x − 7
│ ─────
│ x
Шаг 2: x · (x − 7) = x² − 7x
x² − 8x + 7 │ x − 7
x² − 7x │ ─────
│ x
Шаг 3: Вычитаем
Внимание! Вычитаем со знаками:
(x² − 8x + 7) − (x² − 7x) = x² − 8x + 7 − x² + 7x = −x + 7
x² − 8x + 7 │ x − 7
x² − 7x │ ─────
────────── │ x
−x + 7 │
Шаг 4: −x ÷ x = −1
x² − 8x + 7 │ x − 7
x² − 7x │ ─────
────────── │ x − 1
−x + 7 │
Шаг 5: −1 · (x − 7) = −x + 7
x² − 8x + 7 │ x − 7
x² − 7x │ ─────
────────── │ x − 1
−x + 7 │
−x + 7 │
───────
0 │
Ответ: x − 1
Проверка:
(x − 1)(x − 7) = x² − 7x − x + 7 = x² − 8x + 7 ✅
Пример 7. С неупорядоченными членами
Разделить: x⁶ + 2x⁴ + x⁷ + 2x⁵ на x² + x³
Шаг 0: Упорядочиваем!
Делимое: x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴
Делитель: x³ + x²
x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴ │ x³ + x²
│ ─────────
Шаг 1: x⁷ ÷ x³ = x⁴
x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴ │ x³ + x²
│ ─────────
│ x⁴
Шаг 2: x⁴ · (x³ + x²) = x⁷ + x⁶
x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴ │ x³ + x²
x⁷ + x⁶ │ ─────────
│ x⁴
Шаг 3: Вычитаем
(x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴) − (x⁷ + x⁶) = 2x⁵ + 2x⁴
x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴ │ x³ + x²
x⁷ + x⁶ │ ─────────
────────────────── │ x⁴
2x⁵ + 2x⁴ │
Шаг 4: 2x⁵ ÷ x³ = 2x²
x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴ │ x³ + x²
x⁷ + x⁶ │ ─────────
────────────────── │ x⁴ + 2x²
2x⁵ + 2x⁴ │
Шаг 5: 2x² · (x³ + x²) = 2x⁵ + 2x⁴
x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴ │ x³ + x²
x⁷ + x⁶ │ ─────────
────────────────── │ x⁴ + 2x²
2x⁵ + 2x⁴ │
2x⁵ + 2x⁴ │
───────────
0 │
Ответ: x⁴ + 2x²
Проверка:
(x⁴ + 2x²)(x³ + x²)
= x⁴ · x³ + x⁴ · x² + 2x² · x³ + 2x² · x²
= x⁷ + x⁶ + 2x⁵ + 2x⁴ ✅
Пример 8. Длинное деление
Разделить: −6x⁴ + 17x² + 5x³ − 23x + 7 на −3x² − 2x + 7
Упорядочиваем:
Делимое: −6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7
Делитель: −3x² − 2x + 7
−6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7 │ −3x² − 2x + 7
│ ──────────────
Шаг 1: −6x⁴ ÷ (−3x²) = 2x²
−6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7 │ −3x² − 2x + 7
│ ──────────────
│ 2x²
Шаг 2: 2x² · (−3x² − 2x + 7) = −6x⁴ − 4x³ + 14x²
−6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7 │ −3x² − 2x + 7
−6x⁴ − 4x³ + 14x² │ ──────────────
│ 2x²
Шаг 3: Вычитаем
(−6x⁴ + 5x³ + 17x²) − (−6x⁴ − 4x³ + 14x²)
= −6x⁴ + 5x³ + 17x² + 6x⁴ + 4x³ − 14x²
= 9x³ + 3x²
Сносим остальные члены:
−6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7 │ −3x² − 2x + 7
−6x⁴ − 4x³ + 14x² │ ──────────────
───────────────────────── │ 2x²
9x³ + 3x² − 23x + 7 │
Шаг 4: 9x³ ÷ (−3x²) = −3x
−6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7 │ −3x² − 2x + 7
−6x⁴ − 4x³ + 14x² │ ──────────────
───────────────────────── │ 2x² − 3x
9x³ + 3x² − 23x + 7 │
Шаг 5: −3x · (−3x² − 2x + 7) = 9x³ + 6x² − 21x
−6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7 │ −3x² − 2x + 7
−6x⁴ − 4x³ + 14x² │ ──────────────
───────────────────────── │ 2x² − 3x
9x³ + 3x² − 23x + 7 │
9x³ + 6x² − 21x │
Шаг 6: Вычитаем
(9x³ + 3x² − 23x + 7) − (9x³ + 6x² − 21x)
= 9x³ + 3x² − 23x + 7 − 9x³ − 6x² + 21x
= −3x² − 2x + 7
−6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7 │ −3x² − 2x + 7
−6x⁴ − 4x³ + 14x² │ ──────────────
───────────────────────── │ 2x² − 3x
9x³ + 3x² − 23x + 7 │
9x³ + 6x² − 21x │
──────────────────
−3x² − 2x + 7 │
Шаг 7: −3x² ÷ (−3x²) = 1
−6x⁴ + 5x³ + 17x² − 23x + 7 │ −3x² − 2x + 7
−6x⁴ − 4x³ + 14x² │ ──────────────
───────────────────────── │ 2x² − 3x + 1
9x³ + 3x² − 23x + 7 │
9x³ + 6x² − 21x │
──────────────────
−3x² − 2x + 7 │
−3x² − 2x + 7 │
──────────────
0 │
Ответ: 2x² − 3x + 1
Пример 9. С несколькими переменными
Разделить: 4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ на a² − 3ab − 9b²
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
│ ───────────────
Шаг 1: 4a⁴ ÷ a² = 4a²
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
│ ───────────────
│ 4a²
Шаг 2: 4a² · (a² − 3ab − 9b²) = 4a⁴ − 12a³b − 36a²b²
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
4a⁴ − 12a³b − 36a²b² │ ───────────────
│ 4a²
Шаг 3: Вычитаем
(4a⁴ − 14a³b − 24a²b²) − (4a⁴ − 12a³b − 36a²b²)
= 4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 4a⁴ + 12a³b + 36a²b²
= −2a³b + 12a²b²
Сносим −54b⁴:
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
4a⁴ − 12a³b − 36a²b² │ ───────────────
──────────────────────────── │ 4a²
−2a³b + 12a²b² − 54b⁴ │
Шаг 4: −2a³b ÷ a² = −2ab
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
4a⁴ − 12a³b − 36a²b² │ ───────────────
──────────────────────────── │ 4a² − 2ab
−2a³b + 12a²b² − 54b⁴ │
Шаг 5: −2ab · (a² − 3ab − 9b²) = −2a³b + 6a²b² + 18ab³
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
4a⁴ − 12a³b − 36a²b² │ ───────────────
──────────────────────────── │ 4a² − 2ab
−2a³b + 12a²b² − 54b⁴ │
−2a³b + 6a²b² + 18ab³ │
Шаг 6: Вычитаем
При вычитании обнаруживаем, что 18ab³ и −54b⁴ не подобные!
(−2a³b + 12a²b² − 54b⁴) − (−2a³b + 6a²b² + 18ab³)
= −2a³b + 12a²b² − 54b⁴ + 2a³b − 6a²b² − 18ab³
= 6a²b² − 54b⁴ − 18ab³
Перегруппируем:
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
4a⁴ − 12a³b − 36a²b² │ ───────────────
──────────────────────────── │ 4a² − 2ab
−2a³b + 12a²b² − 54b⁴ │
−2a³b + 6a²b² + 18ab³ │
─────────────────────────
6a²b² − 54b⁴ − 18ab³
Шаг 7: 6a²b² ÷ a² = 6b²
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
4a⁴ − 12a³b − 36a²b² │ ───────────────
──────────────────────────── │ 4a² − 2ab + 6b²
−2a³b + 12a²b² − 54b⁴ │
−2a³b + 6a²b² + 18ab³ │
─────────────────────────
6a²b² − 54b⁴ − 18ab³
Шаг 8: 6b² · (a² − 3ab − 9b²) = 6a²b² − 18ab³ − 54b⁴
4a⁴ − 14a³b − 24a²b² − 54b⁴ │ a² − 3ab − 9b²
4a⁴ − 12a³b − 36a²b² │ ───────────────
──────────────────────────── │ 4a² − 2ab + 6b²
−2a³b + 12a²b² − 54b⁴ │
−2a³b + 6a²b² + 18ab³ │
─────────────────────────
6a²b² − 54b⁴ − 18ab³
6a²b² − 18ab³ − 54b⁴
─────────────────────
0
Ответ: 4a² − 2ab + 6b²
Деление многочлена на многочлен с остатком
Как при делении обычных чисел, иногда образуется остаток.
Пример с числами
15 ÷ 2 = 7 (остаток 1)
Записываем:
15 1
── = 7 + ─ или 7 ½
2 2
Пример с многочленами
Разделить: 2x³ − x² − 5x + 4 на (x − 3)
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
│ ──────
Шаг 1: 2x³ ÷ x = 2x²
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
│ ──────
│ 2x²
Шаг 2: 2x² · (x − 3) = 2x³ − 6x²
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
2x³ − 6x² │ ──────
│ 2x²
Шаг 3: Вычитаем
(2x³ − x² − 5x + 4) − (2x³ − 6x²) = 5x² − 5x + 4
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
2x³ − 6x² │ ──────
───────────────── │ 2x²
5x² − 5x + 4 │
Шаг 4: 5x² ÷ x = 5x
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
2x³ − 6x² │ ──────
───────────────── │ 2x² + 5x
5x² − 5x + 4 │
Шаг 5: 5x · (x − 3) = 5x² − 15x
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
2x³ − 6x² │ ──────
───────────────── │ 2x² + 5x
5x² − 5x + 4 │
5x² − 15x │
Шаг 6: Вычитаем
(5x² − 5x + 4) − (5x² − 15x) = 10x + 4
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
2x³ − 6x² │ ──────
───────────────── │ 2x² + 5x
5x² − 5x + 4 │
5x² − 15x │
──────────────
10x + 4 │
Шаг 7: 10x ÷ x = 10
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
2x³ − 6x² │ ──────
───────────────── │ 2x² + 5x + 10
5x² − 5x + 4 │
5x² − 15x │
──────────────
10x + 4 │
Шаг 8: 10 · (x − 3) = 10x − 30
2x³ − x² − 5x + 4 │ x − 3
2x³ − 6x² │ ──────
───────────────── │ 2x² + 5x + 10
5x² − 5x + 4 │
5x² − 15x │
──────────────
10x + 4 │
10x − 30 │
────────
34 │ ← ОСТАТОК
Число 34 — это остаток. Мы не можем продолжить деление, так как степень остатка (0) меньше степени делителя (1).
Запись ответа:
2x³ − x² − 5x + 4 34
───────────────── = 2x² + 5x + 10 + ─────
x − 3 x − 3
Читается: “2x² плюс 5x плюс 10 плюс дробь 34 деленная на (x − 3)”
[МЕДИА: image_02] Описание: Схема записи деления с остатком Промпт: “educational diagram showing polynomial division with remainder, quotient + remainder/divisor format, clear mathematical notation with colored highlighting, minimalist style, white background”
Когда деление многочленов невозможно?
Правило: Нельзя разделить многочлен, если степень делимого < степени делителя.
Пример невозможного деления
Попробуем разделить x³ + x (степень 3) на x⁴ + x² (степень 4):
x³ + x
────── = ?
x⁴ + x²
Можно получить x⁻¹ = 1/x, но это не многочлен!
Многочлен состоит из одночленов, а одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Дробь 1/x не является произведением.
Геометрическая интерпретация
Пусть прямоугольник имеет стороны 4 и 2:
┌────────┐
│ │ Высота = 2
│ │
└────────┘
Длина = 4
Площадь = 4 × 2 = 8
Увеличим стороны на x:
┌─────────────┐
│ │ Высота = x + 2
│ │
│ │
└─────────────┘
Длина = x + 4
Площадь = (x + 4)(x + 2) = x² + 6x + 8
Теперь можем разделить площадь на ширину:
x² + 6x + 8
─────────── = x + 4 ✅
x + 2
Получили длину!
Важно: Степень произведения = Сумма степеней множителей
Если x² + 6x + 8 (степень 2) — это произведение (x + 4) и (x + 2) (обе степени 1), то:
Степень произведения = 2
Степень множителя 1 = 1
Степень множителя 2 = 1
2 = 1 + 1 ✅
Ни одна степень множителя не превосходит степень произведения!
Вывод: Чтобы деление было возможным, степень делителя должна быть ≤ степени делимого.
[МЕДИА: image_03] Описание: Геометрическая интерпретация деления многочленов через площадь прямоугольника Промпт: “geometric illustration showing rectangle with sides (x+4) and (x+2), area formula x²+6x+8, division concept visualized, colorful educational diagram, minimalist style, white background, suitable for algebra students”
Практика: 25 заданий
Деление многочлена на одночлен (1-5)
Задание 1: 8x³y² + 12x²y³ − 4xy⁴ ÷ 4xy
Задание 2: 15a⁴b³ − 10a³b⁴ + 5a²b⁵ ÷ 5a²b³
Задание 3: 21m⁵n³ − 14m⁴n⁴ + 7m³n³ ÷ (−7m³n³)
Задание 4: 18x⁶ − 27x⁴ + 9x² ÷ 9x²
Задание 5: 24p⁷q⁵ + 36p⁶q⁶ − 12p⁵q⁷ ÷ 12p⁵q⁵
Деление многочлена на многочлен (6-15)
Задание 6: x² + 9x + 20 ÷ (x + 4)
Задание 7: x² − 11x + 30 ÷ (x − 5)
Задание 8: 2x² + 7x + 3 ÷ (x + 3)
Задание 9: x³ − 6x² + 11x − 6 ÷ (x − 1)
Задание 10: x⁴ + 2x³ − 3x² − 4x + 4 ÷ (x² + 2x − 4)
Задание 11: 3x³ − 5x² − 16x + 12 ÷ (x − 3)
Задание 12: x⁴ − 81 ÷ (x − 3)
Задание 13: 2x⁴ + x³ − 6x² + x + 2 ÷ (x² + 2x − 1)
Задание 14: x⁵ + x⁴ − 3x³ − 3x² + 2x + 2 ÷ (x² + x − 2)
Задание 15: 6a³ − 7a²b + ab² + 2b³ ÷ (2a − b)
Деление с остатком (16-20)
Задание 16: x³ + 2x² − x + 3 ÷ (x + 1)
Задание 17: 2x³ − 5x² + 3x − 7 ÷ (x − 2)
Задание 18: x⁴ − 3x³ + 2x − 1 ÷ (x² − 1)
Задание 19: 3x³ + x² − 2x + 5 ÷ (x² + 2)
Задание 20: x⁵ + 1 ÷ (x + 1)
Невозможное деление (21-23)
Задание 21: Можно ли разделить x² + 1 на x³ + 2x?
Задание 22: Можно ли разделить 5x на x² + 3x + 1?
Задание 23: Можно ли разделить 7 на x + 2?
Смешанные задачи (24-25)
Задание 24: Найти длину прямоугольника, если площадь x² + 7x + 12, а ширина x + 3
Задание 25: Разложить x³ − 8 на множители, зная что один множитель (x − 2)
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Не упорядочивают члены перед делением
Неправильно: x⁴ + 2x² + x⁶ ÷ x³ (делят в таком виде)
Правильно: Сначала упорядочить: x⁶ + x⁴ + 2x², потом делить
Почему важно: Легко запутаться и пропустить члены
❌ Ошибка 2: Неправильно вычитают отрицательные члены
Неправильно: (5x² − 3x) − (2x² − 7x) = 3x² − 10x
Правильно: (5x² − 3x) − (2x² − 7x) = 5x² − 3x − 2x² + 7x = 3x² + 4x
Почему важно: Вычитание отрицательного = прибавление!
❌ Ошибка 3: Забывают сносить следующие члены
Неправильно: Вычли, получили 5x, и сразу делят 5x на делитель (забыв про свободный член)
Правильно: После вычитания сносить все оставшиеся члены делимого
Почему важно: Иначе потеряете часть делимого
❌ Ошибка 4: Не проверяют результат
Неправильно: Нашли частное, записали ответ и всё
Правильно: Частное × Делитель = Делимое (проверка!)
Почему важно: Помогает найти ошибки в вычислениях
❌ Ошибка 5: Пытаются делить многочлен меньшей степени на многочлен большей степени
Неправильно: x² ÷ x³ = ... (пытаются решить)
Правильно: Сказать: "Деление невозможно, степень делимого < степени делителя"
Почему важно: Результат не будет многочленом
❌ Ошибка 6: При делении на одночлен забывают разделить все члены
Неправильно: (6x³ + 4x²) ÷ 2x = 3x² (забыли второй член!)
Правильно: (6x³ + 4x²) ÷ 2x = 3x² + 2x
Почему важно: Каждый член многочлена должен быть разделён
❌ Ошибка 7: Неправильно записывают остаток
Неправильно: Частное = 2x + 3, остаток 5 → Ответ: 2x + 3
Правильно: Ответ: 2x + 3 + 5/(делитель)
Почему важно: Остаток — часть ответа!
Главное запомнить
📝 Ключевые правила
✅ **Деление многочлена на одночлен:** раздели каждый член отдельно ✅ **Деление многочлена на многочлен:** используй деление уголком ✅ **Перед делением:** ВСЕГДА упорядочивай члены по убыванию степеней ✅ **Алгоритм уголком:** 1. Дели первый член на первый член 2. Умножай и записывай под делимым 3. Вычитай 4. Повторяй до конца ✅ **Проверка:** Частное × Делитель = Делимое (или + остаток) ✅ **Условие возможности:** Степень делимого ≥ Степени делителя ✅ **Деление с остатком:** Ответ = Частное + Остаток/Делитель ✅ **Степень остатка** всегда меньше степени делителя ✅ **Вычитание знаков:** Минус перед скобкой меняет все знаки в скобкеСвязь с другими темами
Откуда пришли: - Деление — базовые принципы деления - Одночлены — умножение и деление одночленов - Многочлены — умножение многочленов - Степени — правила степеней
Куда ведёт: - Разложение на множители — обратная операция умножению - Дробные выражения — упрощение дробей - Квадратные уравнения — разложение через корни - Теорема Виета — связь корней и делителей
Где применяется: - Упрощение алгебраических дробей - Разложение многочленов на множители - Решение уравнений высших степеней - Нахождение корней многочленов - Геометрия (площади, объёмы)
Интересные факты
💡 Алгоритм деления уголком известен с древности — его использовали ещё в Древнем Вавилоне!
💡 В программировании деление многочленов используется в компьютерной графике для построения сплайнов и кривых.
💡 Схема Горнера — это альтернативный метод деления многочлена на (x − a), работающий быстрее уголком.
💡 Теорема Безу говорит, что остаток от деления многочлена P(x) на (x − a) равен P(a).
💡 Полиномиальная интерполяция в математике использует деление многочленов для восстановления функции по точкам.
Лайфхаки для запоминания 🎯
1. Проверяй степени!
Перед делением: степень делимого ≥ степени делителя. Иначе деление невозможно.
2. Порядок — всему голова
x⁵ → x⁴ → x³ → x² → x → константа. Всегда упорядочивай перед делением!
3. Умножай для проверки
Нашёл частное? Умножь на делитель → должно получиться делимое.
4. Внимательнее со знаками
При вычитании (a − b) − (c − d) = a − b − c + d. Минус перед скобкой меняет все знаки!
5. ASCII-уголок помогает
Рисуй уголок на бумаге или в уме — так легче следить за процессом.
6. Остаток всегда меньше
Степень остатка < степени делителя. Если нет — продолжай делить!
💡 Совет: Деление многочленов — как разборка конструктора LEGO 🧱. Сначала кажется сложным, но стоит понять алгоритм — и ты можешь разобрать (разделить) любую конструкцию (многочлен)! Главное — упорядочить детали (члены) и действовать по шагам.
Понял тему? Закрепи в боте! 🚀