класс ⏱️ мин

Формулы сокращённого умножения: от простого к мастерству

Формулы сокращённого умножения: твой суперпауэр в алгебре

Продолжаем изучать многочлены. В этом уроке ты научишься перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения — настоящих математических “читов”, которые превращают длинные вычисления в мгновенные!

Зачем нужны эти формулы?

Представь: тебе нужно вычислить (998)². Можно долго перемножать 998 × 998 в столбик… А можно представить это как (1000 - 2)² и за секунду получить ответ!

Формулы сокращённого умножения — это не просто “правила для ленивых”. Это мощный инструмент, который: - ⚡ Экономит время на вычислениях - 🧮 Помогает решать уравнения….. - 📐 Упрощает сложные выражения.. - 🎯 Находит закономерности в задачах.

Квадрат суммы двух выражений

Выведем формулу самостоятельно

Начнём с простого примера. Вычислим (a + b)²:

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Это умножение двух одинаковых двучленов. Выполним его по правилу “каждый на каждого”:

(a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Получили формулу:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат суммы двух выражений

Словами: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Как запомнить: “Первый в квадрате, дважды первый на второй, второй в квадрате!”

Геометрический смысл формулы

Формула квадрата суммы имеет красивую геометрическую интерпретацию через площадь квадрата.

Площадь квадрата со стороной a равна a². Если увеличить сторону на b, то площадь нового квадрата будет (a + b)²:

┌────────┬───┐
│        │   │
│   a²   │ab │  a
│        │   │
├────────┼───┤
│   ab   │b² │  b
└────────┴───┘
    a      b

Общая площадь состоит из четырёх частей: - Квадрат со стороной a: a² - Два прямоугольника со сторонами a и b: 2ab - Квадрат со стороной b: b²

Итого: a² + 2ab + b² ✅

[МЕДИА: image_01] Описание: Геометрическая интерпретация формулы (a+b)² - квадрат разделен на 4 части с подписями площадей Промпт: “educational geometric diagram showing square (a+b)² divided into four parts: a², ab, ab, b², with clear labels and colorful sections, mathematical illustration style, white background”

Примеры с решениями

Пример 1: Преобразовать (m + n)² в многочлен

**Решение:** Используем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b², где a = m, b = n: (m + n)² = m² + 2·m·n + n² = m² + 2mn + n² **Ответ:** `m² + 2mn + n²`

Пример 2: Преобразовать (x + 8)² в многочлен

**Шаг 1:** Определяем a и b ``` a = x b = 8 ``` **Шаг 2:** Применяем формулу ``` (x + 8)² = x² + 2·x·8 + 8² ``` **Шаг 3:** Вычисляем ``` = x² + 16x + 64 ``` **Ответ:** `x² + 16x + 64`

Пример 3: Преобразовать (5a + 5)² в многочлен

**Решение:** ``` (5a + 5)² = (5a)² + 2·5a·5 + 5² = 25a² + 50a + 25 ``` Можно вынести общий множитель 25: ``` = 25(a² + 2a + 1) = 25(a + 1)² ``` **Ответ:** `25a² + 50a + 25` или `25(a + 1)²`

Пример 4: Преобразовать (2x² + 3x³)² в многочлен

**Решение:** Здесь a = 2x², b = 3x³ ``` (2x² + 3x³)² = (2x²)² + 2·2x²·3x³ + (3x³)² = 4x⁴ + 12x⁵ + 9x⁶ ``` **Ответ:** `4x⁴ + 12x⁵ + 9x⁶`

Пример 5: Вычислить 103²

Можно представить 103 как (100 + 3) и использовать формулу: ``` 103² = (100 + 3)² = 100² + 2·100·3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609 ``` **Лайфхак:** Так можно быстро возводить в квадрат числа, близкие к круглым! **Ответ:** `10609`

🎮 Пример из жизни

У тебя в Minecraft площадка (x + 5) × (x + 5) блоков. Какая площадь?

S = (x + 5)² = x² + 10x + 25

Если x = 10 блоков, то:

S = 100 + 100 + 25 = 225 блоков²

Квадрат разности двух выражений

Выведем формулу

Вычислим (a - b)²:

(a - b)² = (a - b)(a - b)
         = a·a + a·(-b) + (-b)·a + (-b)·(-b)
         = a² - ab - ab + b²
         = a² - 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Квадрат разности двух выражений

Словами: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

⚠️ ВНИМАНИЕ!

Обрати внимание на знаки:

  • Первый член a² — всегда со знаком ПЛЮС
  • Средний член -2ab — со знаком МИНУС
  • Последний член b² — всегда со знаком ПЛЮС (квадрат не может быть отрицательным!)

Геометрический смысл

Если из квадрата со стороной a “отрезать” полоски шириной b с двух сторон, получится квадрат со стороной (a - b):

┌────────────────┐
│░░░░░░░░░░░░░░░░│ b
├────────────┬───┤
│            │░░░│
│   (a-b)²   │░░░│ a-b
│            │░░░│
└────────────┴───┘
    a-b        b

Площадь нового квадрата:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Откуда это берётся? Из исходной площади a² вычитаем две полоски ab и… оп! Вычли лишнее (маленький квадрат b²), поэтому добавляем его обратно!

[МЕДИА: image_02] Описание: Геометрическая интерпретация (a-b)² - большой квадрат с вырезанными полосками Промпт: “educational geometric diagram showing square with side a, with strips of width b removed, resulting square (a-b)² highlighted, clear labels, mathematical style, white background”

Примеры с решениями

Пример 6: Преобразовать (9 - x)² в многочлен

**Решение:** ``` (9 - x)² = 9² - 2·9·x + x² = 81 - 18x + x² ``` Обычно принято записывать члены в порядке убывания степеней: ``` = x² - 18x + 81 ``` **Ответ:** `81 - 18x + x²` или `x² - 18x + 81`

Пример 7: Преобразовать (7x - 5)² в многочлен

**Шаг за шагом:** ``` (7x - 5)² = (7x)² - 2·7x·5 + 5² ``` Возведём (7x)² в квадрат: ``` (7x)² = 49x² ``` Вычислим удвоенное произведение: ``` 2·7x·5 = 70x ``` Возведём 5 в квадрат: ``` 5² = 25 ``` Собираем вместе: ``` 49x² - 70x + 25 ``` **Проверка:** Попробуем без формулы: ``` (7x - 5)(7x - 5) = 49x² - 35x - 35x + 25 = 49x² - 70x + 25 ✅ ``` **Ответ:** `49x² - 70x + 25`

Пример 8: Преобразовать (3x² - y³)² в многочлен

**Решение:** ``` (3x² - y³)² = (3x²)² - 2·3x²·y³ + (y³)² = 9x⁴ - 6x²y³ + y⁶ ``` **Ответ:** `9x⁴ - 6x²y³ + y⁶`

Пример 9: Вычислить 998²

Представим 998 как (1000 - 2): ``` 998² = (1000 - 2)² = 1000² - 2·1000·2 + 2² = 1000000 - 4000 + 4 = 996004 ``` Вот это скорость! Попробуй посчитать в столбик — займёт в 10 раз дольше 🚀 **Ответ:** `996004`

Пример 10: Докажи, что (a - b)² + 2ab = a² + b²

**Доказательство:** Раскроем левую часть по формуле: ``` (a - b)² + 2ab = a² - 2ab + b² + 2ab ``` Приведём подобные: ``` = a² + (-2ab + 2ab) + b² = a² + 0 + b² = a² + b² ``` Получили правую часть. Тождество доказано! ✅

Умножение разности двух выражений на их сумму

Выведем формулу

Что будет, если умножить (a - b) на (a + b)?

(a - b)(a + b) = a·a + a·b - b·a - b·b
               = a² + ab - ab - b²
               = a² - b²

Средние члены сократились! Получается очень простая формула:

(a - b)(a + b) = a² - b²
Разность квадратов

Словами: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Как запомнить: “Минус на плюс даёт минус квадрат!”

💡 Порядок не важен!

Можно писать как (a - b)(a + b), так и (a + b)(a - b) — результат одинаковый: a² - b²

Примеры с решениями

Пример 11: Выполнить умножение (x - y)(x + y)

**Решение:** ``` (x - y)(x + y) = x² - y² ``` Вот и всё! Одна строчка вместо четырёх шагов обычного умножения. **Ответ:** `x² - y²`

Пример 12: Выполнить умножение (2x - 5)(2x + 5)

**Решение:** Здесь a = 2x, b = 5: ``` (2x - 5)(2x + 5) = (2x)² - 5² = 4x² - 25 ``` **Проверка без формулы:** ``` (2x - 5)(2x + 5) = 4x² + 10x - 10x - 25 = 4x² - 25 ✅ ``` **Ответ:** `4x² - 25`

Пример 13: Выполнить умножение (4x - 5y)(4x + 5y)

**Решение:** ``` (4x - 5y)(4x + 5y) = (4x)² - (5y)² = 16x² - 25y² ``` **Ответ:** `16x² - 25y²`

Пример 14: Выполнить умножение (7 + 3x)(3x - 7)

Порядок сомножителей не важен! Можно переписать как (3x + 7)(3x - 7): ``` (7 + 3x)(3x - 7) = (3x)² - 7² = 9x² - 49 ``` **Ответ:** `9x² - 49`

Пример 15: Выполнить умножение (x² - y³)(x² + y³)

**Решение:** ``` (x² - y³)(x² + y³) = (x²)² - (y³)² = x⁴ - y⁶ ``` **Ответ:** `x⁴ - y⁶`

Пример 16: Вычислить 57 × 63

Хитрость! Представим числа через среднее значение (60): ``` 57 = 60 - 3 63 = 60 + 3 ``` Тогда: ``` 57 × 63 = (60 - 3)(60 + 3) = 60² - 3² = 3600 - 9 = 3591 ``` Вот это трюк! 🎩 **Ответ:** `3591`

Пример 17: Выполнить умножение (-5x - 3y)(5x - 3y)

**Шаг 1:** Вынесем -1 из первой скобки: ``` (-5x - 3y) = -1(5x + 3y) ``` **Шаг 2:** Получается: ``` -1(5x + 3y)(5x - 3y) ``` **Шаг 3:** Применяем формулу к (5x + 3y)(5x - 3y): ``` = -1((5x)² - (3y)²) = -1(25x² - 9y²) = -25x² + 9y² ``` **Ответ:** `-25x² + 9y²`

🎯 Пример из жизни

У тебя (x + 10) подписчиков в Instagram, у друга (x - 10). Насколько квадрат твоих подписчиков больше?

Разница = (x + 10)² - (x - 10)²

Воспользуемся трюком: a² - b² = (a - b)(a + b):

= ((x + 10) - (x - 10))((x + 10) + (x - 10))
= (x + 10 - x + 10)(x + 10 + x - 10)
= 20 · 2x
= 40x

Разница пропорциональна количеству подписчиков!

Куб суммы и куб разности

Когда нужно возвести в третью степень, формулы усложняются, но логика та же!

Формула куба суммы

Выведем (a + b)³:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)²
         = (a + b)(a² + 2ab + b²)
         = a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)
         = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
         = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб суммы двух выражений

Словами: Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

Коэффициенты: 1, 3, 3, 1 — запомни как “треугольник Паскаля”!

Формула куба разности

Аналогично выводится (a - b)³:

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Куб разности двух выражений

Обрати внимание на знаки: плюс, минус, плюс, минус — через один!

Примеры с решениями

Пример 18: Преобразовать (x + 1)³ в многочлен

**Решение:** Применяем формулу (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: ``` (x + 1)³ = x³ + 3·x²·1 + 3·x·1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1 ``` **Ответ:** `x³ + 3x² + 3x + 1`

Пример 19: Преобразовать (2x + 3y)³ в многочлен

**Решение:** Здесь a = 2x, b = 3y: ``` (2x + 3y)³ = (2x)³ + 3(2x)²(3y) + 3(2x)(3y)² + (3y)³ ``` Вычислим каждый член: ``` (2x)³ = 8x³ 3(2x)²(3y) = 3·4x²·3y = 36x²y 3(2x)(3y)² = 3·2x·9y² = 54xy² (3y)³ = 27y³ ``` Собираем: ``` = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ ``` **Ответ:** `8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³`

Пример 20: Преобразовать (n² - 3)³ в многочлен

**Решение:** Применяем формулу куба разности: ``` (n² - 3)³ = (n²)³ - 3(n²)²·3 + 3·n²·3² - 3³ = n⁶ - 9n⁴ + 27n² - 27 ``` **Ответ:** `n⁶ - 9n⁴ + 27n² - 27`

Пример 21: Вычислить 101³

Представим 101 как (100 + 1): ``` 101³ = (100 + 1)³ = 100³ + 3·100²·1 + 3·100·1² + 1³ = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301 ``` **Ответ:** `1030301`

Сумма и разность кубов

Ещё две важные формулы для работы с кубами!

Разность кубов

Выведем формулу, умножив (a - b) на “неполный квадрат суммы” (a² + ab + b²):

(a - b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) - b(a² + ab + b²)
                       = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³
                       = a³ - b³
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
Разность кубов

💡 Что такое "неполный квадрат суммы"?

Это выражение вида a² + ab + b². Оно похоже на квадрат суммы a² + 2ab + b², но произведение ab не удваивается!

Сумма кубов

Аналогично:

(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
Сумма кубов

Здесь “неполный квадрат разности”: a² - ab + b²

Примеры с решениями

Пример 22: Выполнить умножение (2 - x)(4 + 2x + x²)

**Шаг 1:** Узнаём формулу! Первая скобка — разность (2 - x), где a = 2, b = x. Вторая скобка — неполный квадрат суммы: ``` 4 + 2x + x² = 2² + 2·x + x² ``` Это точно формула разности кубов! **Шаг 2:** Применяем: ``` (2 - x)(4 + 2x + x²) = 2³ - x³ = 8 - x³ ``` **Ответ:** `8 - x³`

Пример 23: Выполнить умножение (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

**Анализ второй скобки:** ``` 4x² = (2x)² 9y² = (3y)² 6xy = (2x)·(3y) ``` Это неполный квадрат суммы для a = 2x, b = 3y! **Решение:** ``` (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²) = (2x)³ - (3y)³ = 8x³ - 27y³ ``` **Ответ:** `8x³ - 27y³`

Пример 24: Выполнить умножение (3 + 2x)(9 - 6x + 4x²)

**Анализ:** Первая скобка: (3 + 2x) — сумма Вторая скобка: ``` 9 = 3² 4x² = (2x)² -6x = -(3)·(2x) ``` Это неполный квадрат разности! Формула суммы кубов: ``` (3 + 2x)(9 - 6x + 4x²) = 3³ + (2x)³ = 27 + 8x³ ``` **Ответ:** `27 + 8x³`

Пример 25: Выполнить умножение (4x + 1)(16x² - 4x + 1)

**Решение:** Узнаём формулу суммы кубов, где a = 4x, b = 1: ``` (4x + 1)(16x² - 4x + 1) = (4x)³ + 1³ = 64x³ + 1 ``` **Ответ:** `64x³ + 1`

Практика: проверь себя

Лёгкий уровень 🟢

  1. Преобразуй (m + n)² в многочлен

  2. Преобразуй (x + 8)² в многочлен

  3. Преобразуй (9 - x)² в многочлен

  4. Преобразуй (x - 25)² в многочлен

  5. Выполни умножение (x - y)(x + y)

  6. Выполни умножение (2x - y)(2x + y)

  7. Вычисли 99² используя формулу

Средний уровень 🟡

  1. Преобразуй (5a + 5)² в многочлен

  2. Преобразуй (3x² - y³)² в многочлен

  3. Выполни умножение (7 + 3y)(3y - 7)

  4. Выполни умножение (x² - 5)(x² + 5)

  5. Выполни умножение (5a² + 2b³)(5a² - 2b³)

  6. Вычисли 48 × 52 используя формулу

  7. Преобразуй (x + 1)³ в многочлен

Сложный уровень 🔴

  1. Преобразуй (2x² + 3x³)² в многочлен

  2. Выполни умножение (2 - x)(4 + 2x + x²)

  3. Выполни умножение (3 - 2)(9 + 6 + 4)

  4. Выполни умножение (4x + 1)(16x² - 4x + 1)

  5. Докажи тождество: (a + b)² - (a - b)² = 4ab

  6. Упрости: (x + 2)³ - (x - 2)³

Типичные ошибки: не наступай на грабли!

❌ Ошибка 1: Забывают средний член в квадрате суммы

Неправильно: (a + b)² = a² + b²

Правильно: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Почему важно: Без удвоенного произведения формула неполная! Это самая частая ошибка.

Как запомнить: В формуле ВСЕГДА три члена, средний — это 2ab!

❌ Ошибка 2: Неправильный знак у b² в квадрате разности

Неправильно: (a - b)² = a² - 2ab - b²

Правильно: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Почему важно: b² — это квадрат, он ВСЕГДА положительный!

Как запомнить: Знак минус только у среднего члена!

❌ Ошибка 3: Не удваивают произведение в середине

Неправильно: (2x + 3)² = 4x² + 6x + 9

Правильно: (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

Почему важно: В формуле стоит КОЭФФИЦИЕНТ 2 перед ab!

Как запомнить: 2·(2x)·3 = 12x, а не просто 6x!

❌ Ошибка 4: Путают разность квадратов с квадратом разности

Это разные вещи!

a² - b² ≠ (a - b)²

Разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

Квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Как запомнить: Смотри на скобки! Если есть скобки — возводим в степень. Если нет — это разность.

❌ Ошибка 5: Путают неполный квадрат с обычным квадратом

Неполный квадрат суммы: a² + ab + b² (коэффициент 1 перед ab)

Обычный квадрат суммы: a² + 2ab + b² (коэффициент 2 перед ab)

Почему важно: Они используются в разных формулах!

Где применяется: Неполный квадрат — в формулах для кубов!

❌ Ошибка 6: Забывают коэффициенты при возведении в куб

Неправильно: (a + b)³ = a³ + a²b + ab² + b³

Правильно: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Почему важно: Коэффициенты 1, 3, 3, 1 — обязательная часть формулы!

Как запомнить: Треугольник Паскаля: 1, 3, 3, 1

❌ Ошибка 7: Путают знаки в кубе разности

Неправильно: (a - b)³ = a³ - 3a²b - 3ab² + b³

Правильно: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Почему важно: Знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус!

Как запомнить: Нечётные члены с минусом, чётные — с плюсом!

Главное запомнить

📝 Ключевые формулы

Квадраты:

  • (a + b)² = a² + 2ab + b² — квадрат суммы
  • (a - b)² = a² - 2ab + b² — квадрат разности
  • (a - b)(a + b) = a² - b² — разность квадратов

Кубы:

  • (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ — куб суммы
  • (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ — куб разности
  • (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³ — разность кубов
  • (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³ — сумма кубов

Важные моменты:

  • В квадратах ВСЕГДА три члена
  • Средний член удваивается: 2ab
  • b² всегда положительный (это квадрат!)
  • В кубах коэффициенты: 1, 3, 3, 1
  • Неполный квадрат НЕ равен обычному квадрату

Как применять:

  • Сначала определи, какая формула подходит
  • Найди значения a и b
  • Подставь в формулу
  • Вычисли результат
  • Проверь знаки!

Интересные факты

💡 Формулы сокращённого умножения знали ещё в Древнем Вавилоне! Они использовали их для вычислений без современных калькуляторов.

💡 Треугольник Паскаля содержит коэффициенты для всех степеней (a + b)ⁿ:

n=0:      1
n=1:     1 1
n=2:    1 2 1
n=3:   1 3 3 1
n=4:  1 4 6 4 1

💡 Геометрический смысл формул помогал древним математикам находить площади и объёмы без современной алгебры!

💡 В программировании эти формулы используются для оптимизации вычислений — быстрее вычислить по формуле, чем перемножать!

Связь с другими темами

Откуда пришли: - Многочлены (урок 59) - без умножения многочленов формул не вывести - Законы математики (урок 9) - используем распределительный закон

Куда ведёт: - Разложение на множители (урок 61) - формулы работают “в обратную сторону” - Квадратные уравнения (урок 66) - применяем для решения - Тождественные преобразования (урок 63) - упрощаем сложные выражения

Где применяется: - Быстрый счёт в уме - Упрощение алгебраических выражений - Решение уравнений - Доказательство тождеств - Физика и геометрия

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку

Есть вопросы?

Задай вопрос AI-учителю в Telegram

🤖 Открыть бота →
💬 Есть вопрос? Спроси бота!