класс ⏱️ мин

Многочлены: полное руководство от основ до мастерства

Многочлены: от простых сумм к сложным преобразованиям

Многочлены — это один из главных инструментов алгебры. Если одночлены — это кирпичики, то многочлены — это целые здания из этих кирпичиков. Научимся строить, перестраивать и разбирать эти конструкции!

Что такое многочлен? Определение и примеры

📘 Определение

Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов.

Простыми словами: берём несколько одночленов и соединяем их знаками “плюс” или “минус”. Получается многочлен!

Примеры многочленов:

2x + 4xy² + x + 2xy²     ← многочлен из 4 членов
3x - 5y - 2x             ← многочлен из 3 членов
x + y                    ← двучлен
x² + 2x + 1              ← трёхчлен
5                        ← даже одно число — это многочлен!

💡 Важный момент про минусы

Когда в многочлене стоит минус, это всё равно сумма! Просто мы складываем с отрицательным числом.

Например: 3x - 5y - 2x на самом деле означает 3x + (-5y) + (-2x)

Почему это важно понимать?

Когда мы говорим “многочлен это сумма одночленов”, каждый член нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

В многочлене 3x - 5y - 2x: - Первый член: +3x (плюс обычно не пишут) - Второй член: -5y (минус относится к коэффициенту) - Третий член: -2x (минус относится к коэффициенту)

Основные термины

Термин Определение Пример
Члены многочлена Одночлены, из которых состоит многочлен В 2x + 3y это 2x и 3y
Двучлен Многочлен из двух членов x + y, a² - b²
Трёхчлен Многочлен из трёх членов x² + 2x + 1
Свободный член Член без переменных (просто число) В 3x + 5y + 7 это число 7

🎮 Пример из жизни: Коллекция в играх

У тебя в **Fortnite**: - Легендарные скины: `L` штук - Эпические скины: `E` штук - Редкие скины: `R` штук - Обычные скины: `10` штук (фиксированное число) Вся коллекция: `L + E + R + 10` — это многочлен! Здесь `10` — свободный член (не зависит от переменных).

Многочлен — это тоже число!

Любое числовое выражение — это многочлен:

2 + 3 = 5           ← многочлен
5 + 3 + 2 = 10      ← многочлен
100 - 50 + 25 = 75  ← многочлен

Сложение многочленов: объединяем силы

Сложить два многочлена — значит объединить их в один, убрав скобки и приведя подобные слагаемые.

Правило сложения

(a + b) + (c + d) = a + b + c + d
Раскрываем скобки и складываем

Способ 1: Через раскрытие скобок

Пример 1: Сложить (2x + y) и (3x + y)

**Шаг 1:** Записываем сложение ``` (2x + y) + (3x + y) ``` **Шаг 2:** Раскрываем скобки ``` = 2x + y + 3x + y ``` **Шаг 3:** Группируем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью) ``` = (2x + 3x) + (y + y) ``` **Шаг 4:** Складываем подобные ``` = 5x + 2y ``` **Ответ:** `5x + 2y`

Пример 2: Сложить (2x² + y³ + z + 2) и (5x² + 2y³)

**Шаг 1:** Записываем ``` (2x² + y³ + z + 2) + (5x² + 2y³) ``` **Шаг 2:** Раскрываем скобки ``` = 2x² + y³ + z + 2 + 5x² + 2y³ ``` **Шаг 3:** Группируем подобные ``` = (2x² + 5x²) + (y³ + 2y³) + z + 2 ``` **Шаг 4:** Складываем ``` = 7x² + 3y³ + z + 2 ```

Обрати внимание: члены z и 2 не имеют подобных во втором многочлене, поэтому они просто переписываются в ответ без изменений.

Способ 2: Сложение в столбик

Удобен для больших многочленов. Записываем подобные члены друг под другом.

Пример 3: Сложить в столбик (2x + y) и (3x + y)

``` 2x + y + 3x + y -------- 5x + 2y ``` Подобные члены расположены вертикально → складываем их столбиком.

Пример 4: Сложить в столбик (2x² + y³ + z + 2) и (5x² + 2y³)

``` 2x² + y³ + z + 2 + 5x² + 2y³ ----------------- 7x² + 3y³ + z + 2 ``` Члены `z` и `2` не имеют пары во втором многочлене — просто "сносятся" вниз.

Пример 5: Сложить (7x³ + y + z²) и (x³ - z²)

**В столбик:** ``` 7x³ + y + z² + x³ - z² -------------- 8x³ + y + 0 ``` Получилось `8x³ + y`. Подобные слагаемые `z²` и `-z²` дали в сумме `0`, поэтому их не пишем в ответе. **Через скобки:** ``` (7x³ + y + z²) + (x³ - z²) = 7x³ + y + z² + x³ - z² = (7x³ + x³) + y + (z² - z²) = 8x³ + y ```

🎯 Пример из жизни: Копилки

У тебя две копилки: - В первой: 500₽ купюрами + 30₽ монетами - Во второй: 300₽ купюрами + 50₽ монетами

Объединяешь их:

(500 + 30) + (300 + 50) = 500 + 30 + 300 + 50 = 880₽

Или по типам денег:

Купюры: 500 + 300 = 800₽
Монеты: 30 + 50 = 80₽
Всего: 880₽

Вычитание многочленов: главное правило

⚠️ КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО!

При вычитании многочлена меняются знаки у ВСЕХ его членов!

Правило вычитания

(a + b) - (c + d) = a + b - c - d
Минус перед скобкой меняет все знаки внутри

Пошаговый алгоритм

1

Записать вычитание

Заключить оба многочлена в скобки и соединить знаком минус

2

Раскрыть скобки

У второго многочлена поменять знаки всех членов на противоположные

3

Привести подобные

Сгруппировать и сложить члены с одинаковой буквенной частью

Пример 1: Вычесть из (2x + y) многочлен (3x + y)

**Шаг 1:** Записываем вычитание ``` (2x + y) - (3x + y) ``` **Шаг 2:** Раскрываем скобки (меняем знаки у всех членов второго многочлена) ``` = 2x + y - 3x - y ``` **Шаг 3:** Группируем подобные ``` = (2x - 3x) + (y - y) ``` **Шаг 4:** Вычисляем ``` = -x + 0 = -x ``` **Ответ:** `-x`

Объяснение

Члены y и -y — противоположные числа. Их сумма равна нулю: y + (-y) = 0 или y - y = 0

Пример 2: Вычесть из (13x - 11y + 10z) многочлен (-15x + 10y - 15z)

**Через скобки:** **Шаг 1:** Записываем ``` (13x - 11y + 10z) - (-15x + 10y - 15z) ``` **Шаг 2:** Раскрываем скобки ``` = 13x - 11y + 10z + 15x - 10y + 15z ``` Обрати внимание: - `(-15x)` стало `+15x` - `(+10y)` стало `-10y` - `(-15z)` стало `+15z` **Шаг 3:** Группируем ``` = (13x + 15x) + (-11y - 10y) + (10z + 15z) ``` **Шаг 4:** Вычисляем ``` = 28x - 21y + 25z ``` **Ответ:** `28x - 21y + 25z`

Вычитание в столбик

Внимание при вычитании в столбик!

Нужно учитывать не только знак операции (минус между многочленами), но и знаки перед каждым членом!

Пример 3: Вычесть в столбик (13x - 11y + 10z) - (-15x + 10y - 15z)

``` 13x - 11y + 10z -(-15x + 10y - 15z) ------------------ ``` Меняем знаки второго многочлена: ``` 13x - 11y + 10z + 15x - 10y + 15z ------------------ 28x - 21y + 25z ```

Пример 4: Особый случай — вычитание отрицательных членов

Рассмотрим вычитание: `10z - (-15z)` ``` 10z - (-15z) = 10z + 15z = 25z ``` Результат **положительный**, потому что минус на минус даёт плюс! Это как с долгами: если у тебя забрали долг в 15₽, то это равносильно тому, что тебе дали 15₽.

💡 Важное замечание о скобках

При записи сложения или вычитания многочленов первый многочлен можно не заключать в скобки:

13x - 11y + 10z - (-15x + 10y - 15z)

Но для начинающих лучше использовать скобки для обоих многочленов — так нагляднее видно, что второй многочлен вычитается полностью:

(13x - 11y + 10z) - (-15x + 10y - 15z)

Представление многочлена в виде суммы или разности

Иногда нужно многочлен разбить на части — заключить некоторые его члены в скобки. Это обратное действие к раскрытию скобок.

Правила представления

Два главных правила:

  1. Если перед скобками ставится плюс — члены внутри остаются с теми же знаками
  2. Если перед скобками ставится минус — все знаки членов внутри меняются на противоположные

Пример 1: Представить 3x + 5y + z + 7 в виде суммы двучленов

**Вариант 1:** ``` 3x + 5y + z + 7 = (3x + 5y) + (z + 7) ``` Проверка: раскроем скобки ``` (3x + 5y) + (z + 7) = 3x + 5y + z + 7 ✓ ``` **Вариант 2:** ``` 3x + 5y + z + 7 = (3x + 5y + z) + 7 ``` Также верно!

Пример 2: Представить 3x + 5y + z + 7 в виде разности

``` 3x + 5y + z + 7 = (3x + 5y) - (-z - 7) ``` **Почему так?** Раскроем скобки для проверки: ``` (3x + 5y) - (-z - 7) = 3x + 5y + z + 7 ✓ ``` После минуса в скобках стоят `-z` и `-7`, потому что при раскрытии скобок минус на минус даёт плюс!

Пример 3: Представить 3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 в виде суммы двучленов

``` 3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 = (3x⁴ + 2x³) + (5x² - 4) ```

Пример 4: Представить 3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 в виде разности двучленов

``` 3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 = (3x⁴ + 2x³) - (-5x² + 4) ``` Проверка: ``` (3x⁴ + 2x³) - (-5x² + 4) = 3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 ✓ ```

Многочлен стандартного вида

Стандартный вид — это упрощённая и красиво оформленная запись многочлена.

Многочлен стандартного вида

Многочлен, в котором:

  1. Все одночлены приведены к стандартному виду
  2. Приведены все подобные члены
  3. Члены расположены в порядке убывания степеней

Подобные члены многочлена

Подобные члены — это члены с одинаковой буквенной частью.

Примеры: - 2x и 5x — подобные (одинаковая буквенная часть x) - 3xy² и -xy² — подобные (одинаковая буквенная часть xy²) - 4a²b и 7a²b — подобные - 2x и 3y — НЕ подобные (разные буквенные части)

Пример 1: Привести к стандартному виду 2x + 4xy² + x - xy²

**Шаг 1:** Находим подобные члены - Подобные: `2x` и `x` - Подобные: `4xy²` и `-xy²` **Шаг 2:** Приводим подобные ``` 2x + 4xy² + x - xy² = (2x + x) + (4xy² - xy²) = 3x + 3xy² ``` **Ответ:** `3x + 3xy²` — многочлен стандартного вида

Пример 2: Привести к стандартному виду 3xx⁴ + 3xx³ - 5x²x³ - 5x²x

**Шаг 1:** Приводим к стандартному виду каждый одночлен ``` 3xx⁴ = 3x⁵ 3xx³ = 3x⁴ 5x²x³ = 5x⁵ 5x²x = 5x³ ``` Получаем: ``` 3x⁵ + 3x⁴ - 5x⁵ - 5x³ ``` **Шаг 2:** Приводим подобные члены Подобные: `3x⁵` и `-5x⁵` ``` (3x⁵ - 5x⁵) + 3x⁴ - 5x³ = -2x⁵ + 3x⁴ - 5x³ ``` **Ответ:** `-2x⁵ + 3x⁴ - 5x³`

Пример 3: Привести к стандартному виду 3ab + 4cc + ab + 3c²

**Шаг 1:** Приводим одночлен `4cc` к стандартному виду ``` 4cc = 4c² ``` Получаем: ``` 3ab + 4c² + ab + 3c² ``` **Шаг 2:** Приводим подобные ``` (3ab + ab) + (4c² + 3c²) = 4ab + 7c² ``` **Ответ:** `4ab + 7c²`

Пример 4: Привести к стандартному виду 4x² - 4y - x² + 17y - y

**Метод 1: Прямое приведение** ``` 4x² - 4y - x² + 17y - y = (4x² - x²) + (-4y + 17y - y) = 3x² + 12y ``` **Метод 2: С использованием скобок** (удобнее для начинающих) **Шаг 1:** Заключаем подобные в скобки ``` (4x² - x²) + (-4y + 17y - y) ``` **Шаг 2:** Вычисляем в скобках ``` (3x²) + (12y) ``` **Шаг 3:** Раскрываем скобки ``` 3x² + 12y ``` **Ответ:** `3x² + 12y`

Пример 5: Привести к стандартному виду 12x² - 9y - 9x² + 6y + y

**Шаг 1:** Группируем подобные ``` 12x² - 9y - 9x² + 6y + y = (12x² - 9x²) + (-9y + 6y + y) ``` **Шаг 2:** Вычисляем ``` = (3x²) + (-2y) ``` **Шаг 3:** Раскрываем скобки ``` = 3x² - 2y ``` **Ответ:** `3x² - 2y`

Степень многочлена

Степень многочлена

Наибольшая из степеней одночленов, входящих в многочлен стандартного вида.

Пример: Определить степень многочлена 3x + 3xy²

- Степень члена `3x`: **1** (так как `x = x¹`) - Степень члена `3xy²`: **3** (1 + 2 = 3) Наибольшая степень: **3** **Ответ:** Многочлен имеет **третью степень**

Изменение порядка членов многочлена

Члены многочлена можно переставлять местами (переместительный закон сложения).

Пример 1: Поменять местами члены в x - y

Многочлен `x - y` — это сумма `x + (-y)` По переместительному закону: ``` x + (-y) = (-y) + x = -y + x ``` **Ответ:** `-y + x`

Пример 2: Поменять местами члены в -y - x

``` -y - x = (-y) + (-x) = (-x) + (-y) = -x - y ``` **Ответ:** `-x - y`

Пример 3: Упорядочить x + xy³ - x² по убыванию степеней

Анализ степеней: - `xy³`: степень = 4 (1 + 3) - `x²`: степень = 2 - `x`: степень = 1 Порядок убывания степеней: ``` xy³ - x² + x ``` **Ответ:** `xy³ - x² + x`

Умножение одночлена на многочлен

a(b + c + d) = ab + ac + ad
Распределительный закон умножения

Правило: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример 1: Умножить 3x² на (2x + y + 5)

**Подробное решение:** **Шаг 1:** Записываем умножение ``` 3x²(2x + y + 5) ``` **Шаг 2:** Умножаем 3x² на каждый член многочлена ``` = 3x² · 2x + 3x² · y + 3x² · 5 ``` **Шаг 3:** Вычисляем каждое произведение ``` = 6x³ + 3x²y + 15x² ``` **Ответ:** `6x³ + 3x²y + 15x²` **Короткое решение:** ``` 3x²(2x + y + 5) = 6x³ + 3x²y + 15x² ```

Пример 2: Умножить 2a на (a² - 7a - 3)

**Подробное решение:** ``` 2a(a² - 7a - 3) = 2a · a² + 2a · (-7a) + 2a · (-3) = 2a³ + (-14a²) + (-6a) = 2a³ - 14a² - 6a ``` **Короткое решение:** ``` 2a(a² - 7a - 3) = 2a³ - 14a² - 6a ``` **Ответ:** `2a³ - 14a² - 6a`

Пример 3: Умножить -a²b² на (a²b² - a² - b²)

**Решение:** ``` -a²b²(a²b² - a² - b²) = -a²b² · a²b² + (-a²b²) · (-a²) + (-a²b²) · (-b²) = -a⁴b⁴ + a⁴b² + a²b⁴ ``` **Ответ:** `-a⁴b⁴ + a⁴b² + a²b⁴`

Пример 4: Умножить -1,4x²y⁶ на (5x³y - 1,5xy² - 2y³)

``` -1,4x²y⁶(5x³y - 1,5xy² - 2y³) = -1,4x²y⁶ · 5x³y + (-1,4x²y⁶) · (-1,5xy²) + (-1,4x²y⁶) · (-2y³) = -7x⁵y⁷ + 2,1x³y⁸ + 2,8x²y⁹ ``` **Ответ:** `-7x⁵y⁷ + 2,1x³y⁸ + 2,8x²y⁹`

Пример 5: Умножить -½xy на (⅔x² - ¾xy + ⅘y²)

**Решение:** ``` -½xy(⅔x² - ¾xy + ⅘y²) = -½xy · ⅔x² + (-½xy) · (-¾xy) + (-½xy) · (⅘y²) = -⅓x³y + ⅜x²y² - ⅖xy³ ``` **Ответ:** `-⅓x³y + ⅜x²y² - ⅖xy³`

Геометрический смысл умножения

Распределительный закон имеет геометрическую интерпретацию через площадь прямоугольника.

Геометрическое объяснение: a(b + c)

Представим прямоугольник со сторонами `a` и `b`: ``` ┌──────┐ │ │ a │ │ └──────┘ b ``` Площадь: `S = a · b` Теперь увеличим сторону `b` на `c`: ``` ┌──────┬───┐ │ │ │ a │ ab │ac │ └──────┴───┘ b c ``` Новая площадь равна: - **Способ 1:** `a · (b + c)` — умножаем длину на всю ширину - **Способ 2:** `ab + ac` — складываем площади двух прямоугольников Получаем: `a(b + c) = ab + ac`

Числовой пример: 2 · (4 + 2)

Прямоугольник 2 см × 4 см, увеличили ширину на 2 см: ``` ┌─────────┬────┐ │ │ │ 2 см │ 2·4 │2·2 │ └─────────┴────┘ 4 см 2 см ``` **Способ 1:** ``` 2 · (4 + 2) = 2 · 6 = 12 см² ``` **Способ 2:** ``` 2 · 4 + 2 · 2 = 8 + 4 = 12 см² ``` Площадь: 12 квадратных сантиметров.

🎯 Пример из жизни: Покупки для друзей

Задача: У тебя 5 друзей. Каждому покупаешь футболку за 800₽ и кепку за 300₽. Сколько потратишь?

Решение через многочлен:

5(800 + 300) = 5 · 800 + 5 · 300 = 4000 + 1500 = 5500₽

Или сначала посчитать сумму на одного:

800 + 300 = 1100₽ на одного
5 · 1100 = 5500₽ на всех

Оба способа дают один результат!

Пример с последовательным умножением

Пример 6: Выполнить умножение 2(a + b)c

Здесь сначала `2` умножается на `(a + b)`, затем результат умножается на `c`. **Способ 1:** Сначала 2 на (a + b) ``` 2(a + b)c = (2a + 2b)c ``` Теперь умножаем (2a + 2b) на c: ``` = (2a + 2b)c = 2a · c + 2b · c = 2ac + 2bc ``` **Способ 2:** Сначала (a + b) на c ``` 2(a + b)c = 2(ac + bc) = 2 · ac + 2 · bc = 2ac + 2bc ``` Оба способа дают один результат благодаря сочетательному закону умножения! **Ответ:** `2ac + 2bc`

Умножение многочлена на многочлен

Главное правило

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Метод “Каждый на каждого”

Пример 1: Умножить (x + 3) на (y + 4)

**Подробное решение:** **Шаг 1:** Записываем ``` (x + 3)(y + 4) ``` **Шаг 2:** Умножаем каждый член первого на каждый член второго ``` = x · y + x · 4 + 3 · y + 3 · 4 ``` **Шаг 3:** Вычисляем произведения ``` = xy + 4x + 3y + 12 ``` **Ответ:** `xy + 4x + 3y + 12` **Схема умножения:** ``` (x + 3)(y + 4) ↓ ↓ ↓ ↓ x умножается на y → xy x умножается на 4 → 4x 3 умножается на y → 3y 3 умножается на 4 → 12 ```

Альтернативный метод: через одночлены

Тот же пример: (x + 3)(y + 4)

Умножаем каждый член первого многочлена на весь второй многочлен целиком: ``` (x + 3)(y + 4) = x(y + 4) + 3(y + 4) ``` Теперь раскрываем: ``` = xy + 4x + 3y + 12 ``` Результат тот же!

Пример 2: Умножить (a + b) на (c + d)

``` (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ``` 4 произведения: каждый член первого на каждый член второго!

Пример 3: Умножить (-x - 2y) на (x + 2y²)

**Подробное решение:** **Шаг 1:** Умножаем `-x` на оба члена второго многочлена ``` -x · x = -x² -x · 2y² = -2xy² ``` **Шаг 2:** Умножаем `-2y` на оба члена второго многочлена ``` -2y · x = -2xy -2y · 2y² = -4y³ ``` **Шаг 3:** Складываем все произведения ``` (-x - 2y)(x + 2y²) = -x² - 2xy² - 2xy - 4y³ ``` **Ответ:** `-x² - 2xy - 2xy² - 4y³` Или с приведением подобных (если есть): ``` -x² - 2xy - 2xy² - 4y³ ```

Пример 4: Умножить (4a² + 2ab - b²) на (2a - b)

**Подробное решение:** **Шаг 1:** Умножаем каждый член первого на каждый член второго ``` (4a² + 2ab - b²)(2a - b) = 4a² · 2a + 4a² · (-b) + 2ab · 2a + 2ab · (-b) + (-b²) · 2a + (-b²) · (-b) = 8a³ - 4a²b + 4a²b - 2ab² - 2ab² + b³ ``` **Шаг 2:** Приводим подобные ``` = 8a³ + (-4a²b + 4a²b) + (-2ab² - 2ab²) + b³ = 8a³ + 0 - 4ab² + b³ = 8a³ - 4ab² + b³ ``` **Ответ:** `8a³ - 4ab² + b³`

Умножение с минусом перед скобками

Пример 5: Выполнить умножение -(a + b)(c - d)

Минус перед скобками — это коэффициент `-1`. ``` -(a + b)(c - d) = -1 · (a + b) · (c - d) ``` **Способ 1:** Сначала перемножим многочлены ``` (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd ``` Теперь умножим на `-1`: ``` -1(ac - ad + bc - bd) = -ac + ad - bc + bd ``` **Способ 2:** Сначала умножим `-1` на первый многочлен ``` -1(a + b) = -a - b ``` Теперь умножим на второй: ``` (-a - b)(c - d) = -ac + ad - bc + bd ``` **Ответ:** `-ac + ad - bc + bd`

Пример 6: Выполнить умножение x²(x + 5)(x - 3)

**Шаг 1:** Сначала перемножим многочлены ``` (x + 5)(x - 3) = x² - 3x + 5x - 15 = x² + 2x - 15 ``` **Шаг 2:** Теперь умножим на x² ``` x²(x² + 2x - 15) = x⁴ + 2x³ - 15x² ``` **Ответ:** `x⁴ + 2x³ - 15x²`

Пример 7: Выполнить умножение (a + 1)(a + 2)(a + 3)

**Шаг 1:** Сначала перемножим первые два многочлена ``` (a + 1)(a + 2) = a² + 2a + a + 2 = a² + 3a + 2 ``` **Шаг 2:** Полученный многочлен умножаем на третий ``` (a² + 3a + 2)(a + 3) = a² · a + a² · 3 + 3a · a + 3a · 3 + 2 · a + 2 · 3 = a³ + 3a² + 3a² + 9a + 2a + 6 = a³ + 6a² + 11a + 6 ``` **Ответ:** `a³ + 6a² + 11a + 6`

Подробный метод для сложных случаев

Если умножение многочленов даётся тяжело, можно записывать подробно, как каждый член первого множится на весь второй целиком.

Пример 8: Умножить (a + b) на (c + d) подробным методом

``` (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) ``` Раскрываем: ``` = ac + ad + bc + bd ``` **Ответ:** `ac + ad + bc + bd`

Пример 9: Умножить (x + y) на (x² + 2xy + y²)

``` (x + y)(x² + 2xy + y²) = x(x² + 2xy + y²) + y(x² + 2xy + y²) ``` Раскрываем: ``` = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³ ``` Приводим подобные: ``` = x³ + (2x²y + x²y) + (xy² + 2xy²) + y³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ ``` **Ответ:** `x³ + 3x²y + 3xy² + y³`

Пример 10: Умножить (x² + 2x - 5) на (x³ - x + 2)

``` (x² + 2x - 5)(x³ - x + 2) = x²(x³ - x + 2) + 2x(x³ - x + 2) + (-5)(x³ - x + 2) ``` Раскрываем каждое произведение: ``` = x⁵ - x³ + 2x² + 2x⁴ - 2x² + 4x - 5x³ + 5x - 10 ``` Приводим подобные: ``` = x⁵ + 2x⁴ + (-x³ - 5x³) + (2x² - 2x²) + (4x + 5x) - 10 = x⁵ + 2x⁴ - 6x³ + 9x - 10 ``` **Ответ:** `x⁵ + 2x⁴ - 6x³ + 9x - 10`

Геометрический смысл умножения многочленов

Геометрическое объяснение: (a + x)(b + y)

Прямоугольник со сторонами `a` и `b`: ``` ┌──────┐ │ │ b │ │ └──────┘ a ``` Площадь: `S = a · b` Увеличим длину на `x`, ширину на `y`: ``` ┌──────┬───┐ │ │ │ y │ ab │xb │ ├──────┼───┤ b │ ay │xy │ └──────┴───┘ a x ``` Общая площадь: ``` ab + xb + ay + xy ``` Или: ``` (a + x)(b + y) = ab + xb + ay + xy ```

Числовой пример: (6 + 2)(3 + 1)

Прямоугольник 6×3, увеличили длину на 2, ширину на 1: ``` ┌──────────┬────┐ │ │ │ 1 │ 6·3 │2·3 │ ├──────────┼────┤ 3 │ 6·1 │2·1 │ └──────────┴────┘ 6 2 ``` **Способ 1:** ``` (6 + 2)(3 + 1) = 8 · 4 = 32 ``` **Способ 2:** ``` 6·3 + 2·3 + 6·1 + 2·1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32 ``` Площадь: 32 квадратных сантиметра.

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя — это обратная операция к умножению одночлена на многочлен.

ab + ac = a(b + c)
Вынесение общего множителя a за скобки

Алгоритм вынесения

1

Найти НОД коэффициентов

Находим наибольший общий делитель модулей всех коэффициентов

2

Найти общие буквенные множители

Берём переменные, которые есть во ВСЕХ членах, с наименьшими степенями

3

Вынести за скобки

Делим каждый член на общий множитель

4

Проверить результат

Умножить обратно и убедиться, что получился исходный многочлен

Пример 1: Вынести общий множитель в 6xy + 3xz

**Шаг 1:** Находим НОД коэффициентов ``` НОД(6, 3) = 3 ``` **Шаг 2:** Находим общие буквенные множители ``` Общая буква: x ``` **Шаг 3:** Выносим 3x за скобки Делим каждый член на 3x: ``` 6xy ÷ 3x = 2y 3xz ÷ 3x = z ``` Результат: ``` 6xy + 3xz = 3x(2y + z) ``` **Шаг 4:** Проверка ``` 3x(2y + z) = 3x · 2y + 3x · z = 6xy + 3xz ✓ ``` **Ответ:** `3x(2y + z)`

Пример 2: Вынести общий множитель в x² + x + xy

**Анализ:** - Коэффициенты: все равны 1, НОД = 1 - Общая буква: `x` (в первом члене `x²` = `x·x`, во втором `x`, в третьем `xy` = `x·y`) **Представим члены в виде произведений:** ``` x² = x · x x = 1 · x xy = x · y ``` Общий множитель: `x` **Выносим x:** ``` x² + x + xy = x(x + 1 + y) ``` **Проверка:** ``` x(x + 1 + y) = x² + x + xy ✓ ``` **Ответ:** `x(x + 1 + y)`

Пример 3: Вынести общий множитель в 15x²y³ + 12xy² + 3xy²

**Шаг 1:** НОД коэффициентов ``` НОД(15, 12, 3) = 3 ``` **Шаг 2:** Общие буквенные множители Представим члены: ``` 15x²y³ = 15 · x · x · y · y · y 12xy² = 12 · x · y · y 3xy² = 3 · x · y · y ``` Общие множители: - `x` (наименьшая степень: 1) - `y²` (наименьшая степень: 2) **Шаг 3:** Выносим 3xy² за скобки ``` 15x²y³ ÷ 3xy² = 5xy 12xy² ÷ 3xy² = 4 3xy² ÷ 3xy² = 1 ``` Результат: ``` 15x²y³ + 12xy² + 3xy² = 3xy²(5xy + 4 + 1) ``` Упрощаем скобки: ``` = 3xy²(5xy + 5) ``` **Проверка:** ``` 3xy²(5xy + 5) = 15x²y³ + 15xy² ``` Стоп! Не сходится. Проверим исходный многочлен: Ага, там `12xy² + 3xy²` можно упростить: ``` 15x²y³ + 12xy² + 3xy² = 15x²y³ + 15xy² ``` Теперь: ``` = 3xy²(5xy + 5) ``` Или можно ещё вынести 5: ``` = 3xy² · 5(xy + 1) = 15xy²(xy + 1) ``` **Ответ:** `15xy²(xy + 1)` или `3xy²(5xy + 5)`

Пример 4: Вынести общий множитель в x² + x

``` x² = x · x x = x · 1 ``` Общий множитель: `x` ``` x² + x = x(x + 1) ``` **Ответ:** `x(x + 1)`

Пример 5: Вынести общий множитель в 5y² - 15y

**НОД(5, 15) = 5** **Общая буква: y (степень 1)** ``` 5y² - 15y = 5y(y - 3) ``` **Проверка:** ``` 5y(y - 3) = 5y² - 15y ✓ ``` **Ответ:** `5y(y - 3)`

Пример 6: Вынести общий множитель в 5y² - 15y³

**НОД(5, 15) = 5** **Общая буква: y² (наименьшая степень)** ``` 5y² - 15y³ = 5y²(1 - 3y) ``` **Проверка:** ``` 5y²(1 - 3y) = 5y² - 15y³ ✓ ``` **Ответ:** `5y²(1 - 3y)`

Пример 7: Вынести общий множитель в 20x⁴ - 25x²y² - 10x³

**НОД(20, 25, 10) = 5** **Общая буква: x² (наименьшая степень)** ``` 20x⁴ ÷ 5x² = 4x² 25x²y² ÷ 5x² = 5y² 10x³ ÷ 5x² = 2x ``` ``` 20x⁴ - 25x²y² - 10x³ = 5x²(4x² - 5y² - 2x) ``` **Проверка:** ``` 5x²(4x² - 5y² - 2x) = 20x⁴ - 25x²y² - 10x³ ✓ ``` **Ответ:** `5x²(4x² - 5y² - 2x)`

Пример 8: Вынести общий множитель в aᵐ + aᵐ⁺¹

Второй член можно представить как: ``` aᵐ⁺¹ = aᵐ · a ``` Общий множитель: `aᵐ` ``` aᵐ + aᵐ⁺¹ = aᵐ + aᵐ · a = aᵐ(1 + a) ``` **Ответ:** `aᵐ(1 + a)`

Пример 9: Разложить на множители x³ - 4x² + 4x

**Шаг 1:** Выносим общий множитель x ``` x³ - 4x² + 4x = x(x² - 4x + 4) ``` **Шаг 2:** Смотрим на скобки Многочлен `x² - 4x + 4` можно разложить дальше. Это полный квадрат! ``` x² - 4x + 4 = (x - 2)² ``` **Итого:** ``` x³ - 4x² + 4x = x(x - 2)² ``` **Проверка:** ``` x(x - 2)² = x(x² - 4x + 4) = x³ - 4x² + 4x ✓ ``` **Ответ:** `x(x - 2)²`

Проверка правильности решения

После преобразования многочлена нужно убедиться, что не допущено ошибок.

Метод проверки: Подстановка числа

Подставь любое значение переменной в исходное и в полученное выражение. Если результаты совпали — решение верное!

Пример 1: Проверить вынесение 2x + 4x² = 2x(1 + 2x)

**Подставим x = 2:** Левая часть: ``` 2·2 + 4·2² = 4 + 16 = 20 ``` Правая часть: ``` 2·2(1 + 2·2) = 4(1 + 4) = 4·5 = 20 ``` **20 = 20 ✓** Решение верное! **Подставим x = 1 для дополнительной проверки:** Левая часть: ``` 2·1 + 4·1² = 2 + 4 = 6 ``` Правая часть: ``` 2·1(1 + 2·1) = 2(1 + 2) = 2·3 = 6 ``` **6 = 6 ✓** Решение точно верное!

Пример 2: Проверить вычитание (5x² - 3x + 4) - (4x² - x) = x² - 2x + 4

**Подставим x = 2:** Исходное выражение: ``` (5·4 - 3·2 + 4) - (4·4 - 2) = (20 - 6 + 4) - (16 - 2) = 18 - 14 = 4 ``` Результат: ``` 1·4 - 2·2 + 4 = 4 - 4 + 4 = 4 ``` **4 = 4 ✓** Преобразование выполнено правильно!

Практика: проверь себя

Лёгкий уровень 🟢

  1. Сложи многочлены (8x + 11) и (7x + 5)

  2. Вычти из многочлена (8x + 11) многочлен (7x + 5)

  3. Приведи к стандартному виду: 3x - x² + 5x - 2

  4. Выполни сложение 8a + (3b + 5a)

Средний уровень 🟡

  1. Умножь: 2a(3a² - 4a + 1)

  2. Умножь: (x + 3)(x - 2)

  3. Вынеси за скобки: 15x²y + 10xy²

  4. Приведи к стандартному виду: 7x³ - 2x + 3x³ + 5x - 1

Сложный уровень 🔴

  1. Упрости: (2x - 1)(x + 3) - x(2x + 5)

  2. При каком a многочлен 3x² + ax - 5 при x = 2 равен 7?

  3. Разложи на множители: x³ - 6x² + 9x

  4. Реши уравнение: 3x(x - 1) = 3x² - 15

  5. Умножь: (2x + 3)(3x - 1)(x + 2)

  6. Вынеси общий множитель: 12a²b³ - 18a³b² + 6a²b²

  7. Докажи тождество: (a + b)² - (a - b)² = 4ab

Типичные ошибки: не наступай на грабли!

❌ Ошибка 1: При вычитании меняют знак только у первого члена

Неправильно: (a + b) - (c + d) = a + b - c + d

Правильно: (a + b) - (c + d) = a + b - c - d

Почему важно: Минус перед скобкой меняет знаки ВСЕХ членов внутри скобок, а не только первого!

Как запомнить: Минус "съедает" скобки и переворачивает все знаки внутри.

❌ Ошибка 2: Умножают одночлен не на все члены многочлена

Неправильно: 2x(3y - 1) = 6xy (забыли умножить на -1!)

Правильно: 2x(3y - 1) = 6xy - 2x

Почему важно: Распределительный закон работает на ВСЕ слагаемые в скобках.

Как запомнить: Одночлен перед скобками — это "раздающий". Он должен раздать себя каждому члену в скобках!

❌ Ошибка 3: При умножении многочленов пропускают произведения

Неправильно: (a + b)(c + d) = ac + bd (пропустили ad и bc!)

Правильно: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (4 произведения!)

Почему важно: Каждый член первого многочлена умножается на КАЖДЫЙ член второго.

Как запомнить: В двучленах: 2 × 2 = 4 произведения. В трёхчленах: 3 × 2 = 6 произведений.

❌ Ошибка 4: Выносят не весь общий множитель

Неправильно: 12x²y + 8xy² = 2xy(6x + 4y) (можно ещё упростить!)

Правильно: 12x²y + 8xy² = 4xy(3x + 2y) (НОД коэффициентов = 4, а не 2)

Почему важно: Цель вынесения — максимально упростить выражение.

Как запомнить: Всегда ищи НОД коэффициентов и наименьшие степени переменных!

❌ Ошибка 5: Забывают приводить подобные члены

Неправильно: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 (остановились на полпути!)

Правильно: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

Почему важно: Ответ должен быть в стандартном виде.

Как запомнить: После умножения всегда проверяй, нет ли подобных членов!

❌ Ошибка 6: Путают знаки при работе с отрицательными членами

Неправильно: -2x(3 - x) = -6x - 2x² (неправильный знак у второго члена!)

Правильно: -2x(3 - x) = -6x + 2x²

Объяснение: -2x умножается на (-x), получается +2x² (минус на минус = плюс)

Как запомнить: Минус на минус даёт плюс, минус на плюс даёт минус!

❌ Ошибка 7: Неправильно определяют степень многочлена

Неправильно: Степень 3x²y³ = 2 (взяли только степень x)

Правильно: Степень 3x²y³ = 5 (2 + 3 = 5)

Почему важно: Степень одночлена — это СУММА степеней всех переменных.

Как запомнить: Считай все буквы в одночлене!

📝 Главное запомнить

Определения:

  • Многочлен = сумма одночленов
  • Члены многочлена = одночлены, из которых он состоит
  • Подобные члены = члены с одинаковой буквенной частью
  • Стандартный вид = подобные приведены + степени по убыванию

Операции:

  • Сложение: раскрыть скобки → привести подобные
  • Вычитание: поменять знаки ВСЕХ членов второго многочлена → привести подобные
  • Умножение одночлена на многочлен: умножить одночлен на КАЖДЫЙ член многочлена
  • Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого на КАЖДЫЙ член второго
  • Вынесение за скобки: НОД коэффициентов + общие буквы с минимальной степенью

Проверка:

  • Подставь любое число вместо переменной в исходное и полученное выражение
  • Если результаты совпали — решение верное!

Формулы для запоминания:

  • a(b + c) = ab + ac — распределительный закон
  • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd — умножение двучленов
  • ab + ac = a(b + c) — вынесение за скобки

Дополнительные материалы

🎓 Что дальше?

После изучения многочленов ты готов к: - Формулам сокращённого умножения (квадрат суммы, разность квадратов и т.д.) - Разложению многочленов на множители (более сложные методы) - Решению квадратных уравнений - Алгебраическим дробям

📚 Советы по изучению

  1. Практикуйся каждый день — хотя бы 15 минут
  2. Проверяй себя подстановкой — это поможет найти ошибки
  3. Записывай решения подробно — не спеши сразу делать в уме
  4. Учи формулы наизусть — они пригодятся постоянно
  5. Не бойся ошибаться — на ошибках учимся!

💪 Лайфхаки для запоминания

Мнемоника для умножения многочленов: “Каждый Член Первого На Каждый Члена Второго”

Проверка вынесения за скобки: Умножь обратно — если получился исходный многочлен, всё правильно!

Запоминание знаков: - Плюс перед скобкой = знаки не меняются - Минус перед скобкой = все знаки меняются

Удачи в изучении! 🚀

Есть вопросы?

Задай вопрос AI-учителю в Telegram

🤖 Открыть бота →
💬 Есть вопрос? Спроси бота!