Неравенства: линейные, квадратные, с модулем
Неравенства ⚖️
Ты обучаешь нейронную сеть и хочешь, чтобы learning rate был не слишком большим (иначе модель расходится) и не слишком маленьким (иначе учится вечно). Условие:
$$0.0001 \leq \alpha \leq 0.01$$
Это неравенство. Граница допустимой области. В ML ты встречаешь их везде: ограничения на веса, условия сходимости, допустимые значения гиперпараметров, пороги классификации.
Неравенства — это не просто “больше/меньше”. Это способ задать область допустимых значений. И умение их решать — базовый навык для любого, кто хочет понимать математику за алгоритмами.
🎯 Ты узнаешь: - Как решать линейные неравенства (и почему знак меняется при умножении на −1) - Как решать квадратные неравенства через параболу - Метод интервалов — универсальный инструмент - Как совмещать несколько неравенств в систему - Где неравенства живут в ML
Блок 1: Линейные неравенства
Что это такое
Линейное неравенство — это как линейное уравнение, только вместо = стоит <, >, ≤ или ≥.
Примеры:
2x + 3 > 7
x − 5 ≤ 0
3x + 1 ≥ 2x − 4
Главное правило (которое все забывают)
⚠️ Критически важно: При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Почему? На числовой оси:
←————[−3]————[0]————[3]————→
−3 < 3 (верно)
Умножим на −1:
3 > −3 (знак перевернулся!)
Примеры
Пример 1 (простой): Реши 2x − 4 > 6
2x − 4 > 6
2x > 10 (прибавили 4 к обеим частям)
x > 5 (разделили на 2 — положительное, знак не меняется)
Ответ: x ∈ (5; +∞)
На числовой оси:
←————————————[5)————————→
///////////
Пример 2 (важный): Реши −3x + 6 ≥ 0
−3x + 6 ≥ 0
−3x ≥ −6 (вычли 6)
x ≤ 2 (разделили на −3 — ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ, знак меняется!)
Ответ: x ∈ (−∞; 2]
Пример 3 (средний): Реши 5x − 3 < 2x + 9
5x − 3 < 2x + 9
3x < 12 (перенесли 2x влево, 3 вправо)
x < 4
Ответ: x ∈ (−∞; 4)
Пример 4 (двойное неравенство): Реши −1 ≤ 2x + 3 ≤ 7
Это два неравенства одновременно. Работаем со всей цепочкой:
−1 ≤ 2x + 3 ≤ 7
−4 ≤ 2x ≤ 4 (вычли 3 из всех частей)
−2 ≤ x ≤ 2 (разделили на 2)
Ответ: x ∈ [−2; 2]
Пример 5 (ML): Допустимый диапазон dropout
В нейронных сетях dropout rate p должен быть больше 0 и меньше 1:
0 < p < 1
На практике обычно используют 0.1 ≤ p ≤ 0.5. Это двойное неравенство задаёт допустимую область гиперпараметра.
Запись ответа
| Неравенство | Интервал | На оси |
|---|---|---|
| x > a | (a; +∞) | открытая точка, закрашено вправо |
| x ≥ a | [a; +∞) | закрытая точка, закрашено вправо |
| x < a | (−∞; a) | открытая точка, закрашено влево |
| x ≤ a | (−∞; a] | закрытая точка, закрашено влево |
Блок 2: Квадратные неравенства
Идея через параболу
Квадратное неравенство — это когда нужно определить, где парабола $y = ax^2 + bx + c$ находится выше или ниже оси X.
|
\ | / ← Парабола a > 0 (ветви вверх)
\ | /
\ | /
————[x1]—[x2]———— ← Пересекает ось в x1 и x2
\/
- ax² + bx + c > 0 — где парабола выше оси X
- ax² + bx + c < 0 — где парабола ниже оси X
Алгоритм решения
- Найти корни квадратного уравнения (через дискриминант)
- Нарисовать (мысленно) параболу
- Определить направление (ветви вверх если a > 0, вниз если a < 0)
- Отметить нужные промежутки
Случаи по дискриминанту
D > 0: два корня x1 < x2
При a > 0:
ax² + bx + c < 0 → x ∈ (x1; x2) [между корнями]
ax² + bx + c > 0 → x ∈ (−∞; x1) ∪ (x2; +∞) [вне корней]
При a < 0: всё наоборот.
D = 0: один корень x0
При a > 0: ax² + bx + c ≥ 0 для всех x (= 0 только в x0)
D < 0:
При a > 0: ax² + bx + c > 0 для всех x (парабола всегда выше оси) При a < 0: ax² + bx + c < 0 для всех x
Примеры
Пример 1 (простой): Реши x² − 5x + 6 < 0
Шаг 1: Находим корни x² − 5x + 6 = 0
D = 25 − 24 = 1
x1 = (5 − 1)/2 = 2
x2 = (5 + 1)/2 = 3
Шаг 2: a = 1 > 0, ветви вверх. Парабола ниже оси (< 0) между корнями:
\ /
\ /
\ /
—————[2]—[3]—————
\/
< 0 здесь
Ответ: x ∈ (2; 3)
Пример 2 (средний): Реши x² − 5x − 6 > 0
Шаг 1: Корни x² − 5x − 6 = 0
D = 25 + 24 = 49
x1 = (5 − 7)/2 = −1
x2 = (5 + 7)/2 = 6
Шаг 2: a = 1 > 0, ветви вверх. Парабола выше оси (> 0) вне корней:
Ответ: x ∈ (−∞; −1) ∪ (6; +∞)
Пример 3 (средний): Реши −x² + 4x − 3 ≥ 0
Шаг 1: Корни −x² + 4x − 3 = 0, или x² − 4x + 3 = 0
D = 16 − 12 = 4
x1 = (4 − 2)/2 = 1
x2 = (4 + 2)/2 = 3
Шаг 2: a = −1 < 0, ветви вниз. Парабола выше (≥ 0) между корнями:
Ответ: x ∈ [1; 3]
Пример 4 (сложный): Реши x² + 2x + 5 > 0
D = 4 − 20 = −16 < 0
D < 0, a = 1 > 0 — парабола не пересекает ось X и вся выше неё.
Ответ: x ∈ (−∞; +∞) — истинно для всех x
Пример 5 (ML-контекст): Квадратичная функция потерь
MSE: $L(w) = (y - wx)^2$. Когда $L(w) < \epsilon$? Это квадратное неравенство:
(y − wx)² < ε
|y − wx| < √ε
−√ε < y − wx < √ε
Это допустимая “трубка” вокруг правильного ответа.
Блок 3: Метод интервалов
Зачем он нужен
Когда уравнение сложнее квадратного или имеет множество множителей — метод интервалов спасает. Он работает для любых рациональных неравенств.
Алгоритм метода интервалов
- Перенести всё в одну сторону (получить 0 в правой части)
- Разложить на множители
- Найти нули каждого множителя
- Отметить нули на числовой оси (разбивают её на интервалы)
- Определить знак выражения на каждом интервале
- Выбрать нужные интервалы
Правило знаков
На каждом интервале знак выражения чередуется (если все корни простые). Начинаем справа: при очень большом x знак определяется старшим коэффициентом.
Примеры
Пример 1 (средний): Реши (x − 1)(x + 3) > 0
Шаг 1: Уже в нужном виде (справа 0)
Шаг 2: Нули: x = 1 и x = −3
Шаг 3: Отмечаем на оси:
←————[−3]————————[1]————→
Шаг 4: Три интервала. Проверяем знак: - x = 2 (правее 1): (2−1)(2+3) = 1·5 = +5 > 0 ✅ - x = 0 (между): (0−1)(0+3) = −1·3 = −3 < 0 ❌ - x = −4 (левее −3): (−4−1)(−4+3) = −5·(−1) = +5 > 0 ✅
Знаки: + | − | +
Ответ: x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞)
Пример 2 (сложный): Реши x(x − 2)(x + 1) ≤ 0
Нули: x = 0, x = 2, x = −1
На оси:
←————[−1]————[0]————[2]————→
Четыре интервала. Справа (x = 3): 3·1·4 = 12 > 0
Чередуем знаки справа налево: + | − | + | −
←— − —[−1]— + —[0]— − —[2]— + —→
Нам нужно ≤ 0, включаем сами точки:
Ответ: x ∈ (−∞; −1] ∪ [0; 2]
Пример 3 (дробное неравенство): Реши (x + 2)/(x − 1) > 0
Нули числителя: x = −2 Нули знаменателя: x = 1 (ВАЖНО: x ≠ 1!)
На оси:
←————[−2]————(1)————→
Знаки (справа +): + | − | +
Ответ: x ∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞)
(Точку x = 1 не включаем — знаменатель обнуляется!)
Блок 4: Системы неравенств
Что это такое
Система неравенств — это несколько условий, которые должны выполняться одновременно (логическое И).
Способ решения: числовая ось
- Решить каждое неравенство отдельно
- Нарисовать все решения на одной оси
- Взять пересечение (общую часть)
Примеры
Пример 1 (простой): Реши систему
x > 2
x < 5
←————————(2)————————(5)————→
///
Ответ: x ∈ (2; 5)
Пример 2 (средний): Реши систему
2x − 1 > 3 → x > 2
x² − 4 < 0 → −2 < x < 2
На оси:
Первое: ←————————(2)///→
Второе: ←———(-2)/////( 2)———→
Пересечение: нет общей части! x > 2 И x < 2 — невозможно.
Ответ: нет решений (∅)
Пример 3 (средний): Реши систему
x² − x − 6 ≤ 0 → корни: x = 3, x = −2 → x ∈ [−2; 3]
x + 1 > 0 → x > −1
Пересечение [−2; 3] и (−1; +∞):
Ответ: x ∈ (−1; 3]
Пример 4 (ML): Область допустимых гиперпараметров
Для стабильного обучения нейросети требуется:
0 < lr ≤ 0.01 (learning rate не слишком большой)
batch_size ≥ 16 (достаточный размер батча)
0 ≤ dropout < 1 (корректный dropout)
Это система неравенств на гиперпараметры. Hyperparameter search — по сути поиск в пространстве, заданном такими системами.
Блок 5: Неравенства с модулем (продвинутый уровень)
Основные правила
Правило 1: $|f(x)| < c \Rightarrow -c < f(x) < c$
Правило 2: $|f(x)| > c \Rightarrow f(x) < -c$ или $f(x) > c$
Примеры
Пример 1: Реши |x² − 5x| < 6
По правилу 1:
−6 < x² − 5x < 6
Это система двух неравенств:
x² − 5x + 6 > 0 → (x−2)(x−3) > 0 → x < 2 или x > 3
x² − 5x − 6 < 0 → (x−6)(x+1) < 0 → −1 < x < 6
Пересечение:
(x < 2 или x > 3) И (−1 < x < 6)
Итого: x ∈ (−1; 2) ∪ (3; 6)
Пример 2: Реши |2x − 7| ≤ 3
−3 ≤ 2x − 7 ≤ 3
4 ≤ 2x ≤ 10
2 ≤ x ≤ 5
Целые значения: x ∈ {2, 3, 4, 5}
Практика: 30 заданий
Базовые (1–10)
Задание 1: Реши 3x − 9 > 0
Задание 2: Реши −2x ≤ 8
Задание 3: Реши 4x + 3 < 2x + 9
Задание 4: Реши x² − 9 > 0
Задание 5: Реши x² − 4x + 4 > 0
Задание 6: Реши x² + x − 2 ≤ 0
Задание 7: Реши −5 ≤ 2x + 1 ≤ 7
Задание 8: Реши x² + 1 > 0
Задание 9: Реши |x − 3| < 5
Задание 10: Реши |2x + 1| ≥ 3
Средние (11–20)
Задание 11: Реши (x − 1)(x + 2)(x − 3) < 0
Задание 12: Реши (x + 3)/(x − 2) ≤ 0
Задание 13: Реши систему: x² − 1 > 0 и x < 3
Задание 14: Реши x² − 3x > 0
Задание 15: Реши |x² − 4| < 5
Задание 16: Найди целые x: x² − 5x + 4 ≤ 0
Задание 17: Реши (x² − 4)/(x + 1) > 0
Задание 18: Реши систему: 2x − 3 ≤ 5 и x + 1 > 0
Задание 19: Реши |3x − 1| < |x + 5|
Задание 20 (ML): Learning rate lr должен удовлетворять: 10·lr² − lr < 0. Найди допустимые lr > 0.
Продвинутые (21–30)
Задание 21: Реши x⁴ − 5x² + 4 ≤ 0
Задание 22: Реши (x² − 2x − 3)/(x² − 4) ≥ 0
Задание 23: Реши систему: x² − x − 2 > 0 и x² + x − 6 ≤ 0
Задание 24: Реши |x² − x − 6| < 6
Задание 25: Найди область определения: f(x) = √(x² − 4x + 3)
Задание 26: Реши: $\frac{x+1}{x-2} + \frac{x-2}{x+1} \geq 2$
Задание 27 (ML): Активационная функция ReLU: f(x) = max(0, x). Найди все x, при которых f(x) > 2.
Задание 28: Реши x³ − x > 0
Задание 29: Реши |x − 1| + |x + 1| > 4
Задание 30 (ML): Softmax: при каких z выражение e^z / (e^z + e^0) > 0.7?
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Не меняют знак при делении на отрицательное Неправильно: −2x > 6 → x > −3 Правильно: −2x > 6 → x < −3 Почему важно: ответ получается противоположным
❌ Ошибка 2: Включают точку исключения в дробном неравенстве Неправильно: (x+1)/(x−2) ≥ 0 → ответ включает x = 2 Правильно: x = 2 всегда исключается (знаменатель = 0)
❌ Ошибка 3: Путают “и”/“или” при объединении неравенств Система {x > 2; x < 5} — это “и” (пересечение): 2 < x < 5 Совокупность [x < 2 или x > 5] — это “или” (объединение)
❌ Ошибка 4: Неверно читают знаки на параболе a < 0 (ветви вниз) — парабола ниже оси вне корней, а не между!
❌ Ошибка 5: Чередование знаков при кратных корнях Если корень кратный (степень чётная), знак не меняется в этой точке — парабола касается оси и не пересекает её
Главное запомнить
✅ При умножении/делении на отрицательное — знак неравенства меняется
✅ Квадратное неравенство — решается через нахождение корней и определение знака параболы
✅ a > 0 (ветви вверх): <0 между корнями, >0 вне корней
✅ a < 0 (ветви вниз): >0 между корнями, <0 вне корней
✅ Метод интервалов: нули → ось → знаки → нужные промежутки
✅ Дробные неравенства: нули знаменателя всегда исключаются
✅ Система неравенств — пересечение решений каждого
✅ |f(x)| < c → двойное неравенство −c < f(x) < c
✅ |f(x)| > c → два промежутка: f(x) < −c или f(x) > c
✅ D < 0, a > 0 → квадратный трёхчлен всегда положителен
Связь с другими темами
Что нужно знать до: - Линейные уравнения — основа для линейных неравенств - Квадратные уравнения и дискриминант — для нахождения корней параболы - Модуль — встречается в каждом третьем неравенстве
Что изучить дальше: - Корни и иррациональные неравенства — следующий уровень сложности - Системы уравнений и неравенств — комбинирование - Производная — неравенства для анализа функций
В ML: - 🤖 Условия сходимости: learning rate и другие гиперпараметры задаются неравенствами - 📊 Feature engineering: пороговые значения, бинаризация признаков - 🔬 SVM: максимизация margin — задача с неравенствами (KKT условия) - 🤖 Логистическая регрессия: порог классификации 0.5 — это неравенство σ(z) > 0.5
Лайфхаки
1. Быстрая проверка знака на интервале Подставь любое удобное число из интервала (0 удобнее всего) и проверь знак.
2. Чётные корни не меняют знак (x − a)² всегда ≥ 0. Если в произведении есть такой множитель — знак определяют остальные.
3. D < 0 → трёхчлен знакопостоянен Знак совпадает со знаком коэффициента a. Не нужно ничего считать.
4. Дробное неравенство — всегда приводи к одному знаменателю Не переноси знаменатель в другую сторону умножением — не знаешь его знак!
5. Визуализируй на числовой оси Даже простой рисунок из 1-2 точек помогает не запутаться с объединением/пересечением.
💡 Совет: Квадратные неравенства и метод интервалов — это навык, который прокачивается только практикой. Первые 10 раз будет казаться странным, потом станет автоматическим. В ML ты будешь встречать их при анализе функций и условий оптимизации.
Следующий урок: Корни и иррациональность →