Умножение и деление рациональных чисел
Умножение и деление рациональных чисел
Введение
Представь, что ты играешь в Minecraft и у тебя есть -3⁄4 блока динамита 💣 А теперь нужно умножить это на -2⁄3… Что получится? Положительный результат или отрицательный? И вообще, как правильно умножать и делить числа со знаками?
Сегодня разберёмся, как работать с умножением и делением рациональных чисел (это дроби со знаками плюс и минус). Эти навыки понадобятся буквально везде - от подсчёта очков в играх до решения уравнений! 🎯
Основная часть
Умножение рациональных чисел
Помнишь правила умножения для целых чисел? Отличная новость - они работают и для дробей! Главное запомнить правила знаков:
📌 Правила знаков при умножении:
- Плюс на плюс = плюс
- Минус на минус = плюс
- Плюс на минус = минус
- Минус на плюс = минус
[МЕДИА: image_01] Описание: Схема правил знаков при умножении с примерами положительных и отрицательных чисел Промпт: “educational diagram showing multiplication sign rules, positive and negative numbers with + and - symbols, clear visual examples, minimalist style, flat colors, white background, suitable for students aged 12-15”
Примеры умножения
Пример 1: Умножим (-2⁄3) × (3⁄5)
Это числа с разными знаками, поэтому результат будет отрицательным: - Умножаем модули: |−2/3| × |3⁄5| = 2⁄3 × 3⁄5 = 6⁄15 = 2⁄5 - Ставим минус: -2⁄5
Короткая запись: (-2⁄3) × (3⁄5) = -6⁄15 = -2⁄5
Пример 2: Умножим (-1⁄4) × (-2⁄7)
Оба числа отрицательные, результат будет положительным: (-1⁄4) × (-2⁄7) = +2⁄28 = 1⁄14
Пример 3: Умножение с нулём
Любое число, умноженное на ноль, даёт ноль: (-5⁄8) × 0 = 0
[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация умножения дробей с разными знаками, показывающая пошаговый процесс Промпт: “animated illustration showing step-by-step multiplication of rational numbers with different signs, simple geometric shapes, smooth transitions, educational style, 5-8 seconds”
Деление рациональных чисел
Деление дробей - это умножение на обратную дробь! Звучит сложно? На самом деле проще простого 😉
Что такое обратная дробь? Для дроби a/b обратная дробь - это b/a. Просто переворачиваем! - Для 3⁄4 обратная дробь: 4⁄3 - Для -2⁄5 обратная дробь: -5⁄2
Алгоритм деления: 1. Заменяем деление умножением 2. Вторую дробь переворачиваем 3. Умножаем по правилам знаков
Пример деления: (-3⁄4) ÷ (2⁄7)
(-3⁄4) ÷ (2⁄7) = (-3⁄4) × (7⁄2) = -21⁄8
Многоэтажные дроби 🏢
Иногда встречаются дроби-небоскрёбы, где в числителе и знаменателе тоже дроби. Выглядит страшно, но решается легко!
[МЕДИА: image_02] Описание: Визуализация многоэтажной дроби с выделением этажей и стрелками Промпт: “educational illustration of multi-level fractions with floor levels numbered, arrows showing movement between levels, architectural style, clean design, white background”
Лайфхак “С первого на четвёртый”:
Для дроби вида:
a
-
b
-----
c
-
d
Применяем правило: “С первого этажа на четвёртый, со второго на третий” Получаем: (a × d)/(b × c)
Пример: Вычислим многоэтажную дробь
3
---
4
-------
5
---
7
По правилу: (3 × 7)/(4 × 5) = 21⁄20 = 1 1⁄20
Практика
Лёгкий уровень 🟢
Задание 1: Вычисли (-1⁄2) × (3⁄4)
💡 Подсказка
У чисел разные знаки, поэтому результат будет отрицательным.
✅ Ответ
(-1⁄2) × (3⁄4) = -3⁄8
Задание 2: Найди (-2⁄5) × (-3⁄7)
💡 Подсказка
Минус на минус даёт плюс!
✅ Ответ
(-2⁄5) × (-3⁄7) = 6⁄35
Задание 3: Выполни деление: (2⁄3) ÷ (4⁄5)
💡 Подсказка
Замени деление на умножение на обратную дробь.
✅ Ответ
(2⁄3) ÷ (4⁄5) = (2⁄3) × (5⁄4) = 10⁄12 = 5⁄6
Средний уровень 🟡
Задание 4: В игре твой герой потерял 3⁄4 здоровья дважды. На сколько изменилось здоровье всего? (Считай потерю отрицательным числом)
💡 Подсказка
Потеря 3⁄4 записывается как -3⁄4. Дважды означает умножить на 2.
✅ Ответ
(-3⁄4) × 2 = -6⁄4 = -1 1⁄2. Герой потерял полтора здоровья (больше максимума).
Задание 5: Реши (-1 2⁄3) × (-2 1⁄4)
💡 Подсказка
Сначала переведи смешанные числа в неправильные дроби.
✅ Ответ
(-5⁄3) × (-9⁄4) = 45⁄12 = 3 3⁄4
Задание 6: Упрости многоэтажную дробь:
1
---
2
-------
3
---
4
💡 Подсказка
Используй правило “с первого на четвёртый, со второго на третий”.
✅ Ответ
(1 × 4)/(2 × 3) = 4⁄6 = 2⁄3
Сложный уровень 🔴
Задание 7: В YouTube канал набрал -2⁄3 от планируемых подписчиков в первом месяце и -4⁄5 от планируемых во втором. Какую долю от плана он недобрал за два месяца?
💡 Подсказка
Нужно умножить недобор первого месяца на недобор второго месяца.
✅ Ответ
(-2⁄3) × (-4⁄5) = 8⁄15 от плана. Получается, недобор компенсировался!
Задание 8: Вычисли: (-2,4) ÷ (-0,8)
💡 Подсказка
Можно работать с десятичными дробями или перевести в обыкновенные.
✅ Ответ
(-2,4) ÷ (-0,8) = 2,4 ÷ 0,8 = 3
Задание 9: Найди значение сложной многоэтажной дроби:
-2
---
3
--------
-1
---
4
💡 Подсказка
Внимательно следи за знаками при применении правила этажей.
✅ Ответ
(-2 × 4)/(3 × (-1)) = -8/(-3) = 8⁄3 = 2 2⁄3
Задание 10: Реши выражение: (-3⁄5) × (2⁄7) ÷ (-4⁄15)
💡 Подсказка
Сначала выполни умножение, потом деление.
✅ Ответ
(-3⁄5) × (2⁄7) = -6⁄35, затем (-6⁄35) ÷ (-4⁄15) = (-6⁄35) × (-15⁄4) = 90⁄140 = 9⁄14
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Путают знаки при умножении отрицательных чисел ✅ Правильно: Минус на минус всегда даёт плюс 💡 Почему важно: Это основа всех вычислений с рациональными числами
❌ Ошибка 2: Забывают переворачивать дробь при делении
✅ Правильно: Деление = умножение на обратную дробь
💡 Почему важно: Без этого невозможно правильно делить дроби
❌ Ошибка 3: Неправильно определяют главную черту в многоэтажной дроби ✅ Правильно: Главная черта - самая длинная, она показывает основное деление 💡 Почему важно: От этого зависит весь ход решения
❌ Ошибка 4: Не сокращают ответ до конца ✅ Правильно: Всегда проверяй, можно ли сократить результат 💡 Почему важно: Несокращённый ответ считается неполным
Главное запомнить
✅ При умножении дробей умножай числители и знаменатели отдельно
✅ Правила знаков: одинаковые знаки → плюс, разные знаки → минус
✅ Деление дробей = умножение на обратную дробь
✅ В многоэтажных дробях главная черта - самая длинная
✅ Любое число, умноженное на ноль, равно нулю
✅ Всегда сокращай результат до простейшего вида