Сложение и вычитание рациональных чисел

Введение

Представь, что ты играешь в игру, где нужно собирать очки 🎯. Иногда ты получаешь положительные очки (+50), а иногда теряешь их (-30). Как понять, сколько очков у тебя в итоге? Это и есть сложение и вычитание рациональных чисел!

Рациональные числа - это все числа, которые можно записать в виде дроби a/b, где a и b - целые числа, а b ≠ 0. Сюда входят и обычные дроби (¹⁄₂, -³⁄₄), и смешанные числа (2 ¹⁄₃), и десятичные дроби (0,5; -1,25).

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема с примерами рациональных чисел: обыкновенные дроби, смешанные числа, десятичные дроби, расположенные на числовой прямой Промпт: “educational illustration showing different types of rational numbers on a number line, including proper fractions, mixed numbers, and decimal numbers, colorful mathematical diagram, minimalist style, white background”

Основная часть

Правило сложения чисел с разными знаками

Когда складываем числа с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное), действуем как в игре:

1️⃣ Находим модули чисел (убираем знаки) 2️⃣ Из большего модуля вычитаем меньший 3️⃣ Результату даём знак числа с бóльшим модулем

Пример: Допустим, у тебя было -20 рублей (долг), а потом ты получил 35 рублей. (-20) + (+35) = 35 - 20 = +15 рублей

Правило сложения чисел с одинаковыми знаками

Если оба числа положительные или оба отрицательные:

1️⃣ Складываем их модули 2️⃣ Результату даём общий знак

Пример: Если ты потерял 10 рублей, а потом ещё 5 рублей: (-10) + (-5) = -(10 + 5) = -15 рублей

[МЕДИА: image_02] Описание: Визуальное объяснение правил сложения рациональных чисел через игровые очки и деньги Промпт: “educational diagram showing addition rules for rational numbers using game points and money examples, bright colors, simple illustrations, suitable for middle school students”

Работа с дробями разных типов

Когда работаем с дробями, сначала приводим их к одному виду: - Смешанные числа → неправильные дроби - Десятичные дроби → обыкновенные дроби - Приводим к общему знаменателю

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация превращения смешанного числа в неправильную дробь и приведения дробей к общему знаменателю Промпт: “simple animation showing step-by-step conversion of mixed numbers to improper fractions and finding common denominators, educational style, 5-7 seconds duration”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Найди значение: (-¹⁄₃) + (²⁄₃)

💡 Подсказка

У дробей одинаковые знаменатели и разные знаки. Из большего модуля вычти меньший.

✅ Ответ

(-¹⁄₃) + (²⁄₃) = ²⁄₃ - ¹⁄₃ = ¹⁄₃

Задание 2: Вычисли: (-0,5) + (-0,3)

💡 Подсказка

Оба числа отрицательные, значит складываем модули и ставим минус.

✅ Ответ

(-0,5) + (-0,3) = -(0,5 + 0,3) = -0,8

Задание 3: Найди результат: (³⁄₄) - (¹⁄₄)

💡 Подсказка

Вычитание замени сложением с противоположным числом.

✅ Ответ

(³⁄₄) - (¹⁄₄) = (³⁄₄) + (-¹⁄₄) = ²⁄₄ = ¹⁄₂

Средний уровень 🟡

Задание 4: Вычисли: (-2 ¹⁄₅) + (1 ³⁄₅)

💡 Подсказка

Переведи смешанные числа в неправильные дроби или работай отдельно с целыми и дробными частями.

✅ Ответ

(-2 ¹⁄₅) + (1 ³⁄₅) = (-¹¹⁄₅) + (⁸⁄₅) = -³⁄₅

Задание 5: Найди значение: (¹⁄₂) - (³⁄₄)

💡 Подсказка

Приведи дроби к общему знаменателю 4.

✅ Ответ

(¹⁄₂) - (³⁄₄) = (²⁄₄) - (³⁄₄) = (²⁄₄) + (-³⁄₄) = -¹⁄₄

Задание 6: Вычисли: -1,25 + 2,75

💡 Подсказка

Разные знаки: из большего модуля вычти меньший.

✅ Ответ

-1,25 + 2,75 = 2,75 - 1,25 = 1,5

Задание 7: Найди результат: (-¹⁄₃) + (¹⁄₆) - (¹⁄₂)

💡 Подсказка

Приведи все дроби к общему знаменателю 6, затем выполни действия слева направо.

✅ Ответ

(-¹⁄₃) + (¹⁄₆) - (¹⁄₂) = (-²⁄₆) + (¹⁄₆) + (-³⁄₆) = -⁴⁄₆ = -²⁄₃

Сложный уровень 🔴

Задание 8: Вычисли: (2 ¹⁄₄) - (-1 ¹⁄₂) + (-³⁄₄)

💡 Подсказка

Замени вычитание сложением, переведи смешанные числа в неправильные дроби.

✅ Ответ

(2 ¹⁄₄) + (1 ¹⁄₂) + (-³⁄₄) = (⁹⁄₄) + (⁶⁄₄) + (-³⁄₄) = ¹²⁄₄ = 3

Задание 9: Найди значение: -0,75 + (2 ¹⁄₈) - 1,125

💡 Подсказка

Переведи все числа в один формат (например, в обыкновенные дроби).

✅ Ответ

-0,75 + 2,125 - 1,125 = -0,75 + 1 = 0,25 = ¹⁄₄

Задание 10: Вычисли: (1,5 - 2,3) - (0,8 - 1,6)

💡 Подсказка

Сначала выполни действия в каждой скобке, затем вычти результаты.

✅ Ответ

(1,5 - 2,3) - (0,8 - 1,6) = (-0,8) - (-0,8) = -0,8 + 0,8 = 0

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают знак операции со знаком числа ✅ Правильно: В выражении 5 - (-3) минус между числами - это операция, а минус перед 3 - знак числа 💡 Почему важно: Неправильное понимание знаков приводит к ошибкам в вычислениях

❌ Ошибка 2: Забывают приводить дроби к общему знаменателю ✅ Правильно: Перед сложением ¹⁄₃ + ¹⁄₄ нужно получить ⁴⁄₁₂ + ³⁄₁₂ = ⁷⁄₁₂ 💡 Почему важно: Без общего знаменателя нельзя складывать дроби

❌ Ошибка 3: Неправильно определяют знак результата ✅ Правильно: При сложении чисел с разными знаками результат имеет знак числа с большим модулем 💡 Почему важно: Знак результата определяет, положительное число или отрицательное

❌ Ошибка 4: Путают правила для одинаковых и разных знаков ✅ Правильно: Одинаковые знаки - складываем модули; разные знаки - вычитаем модули 💡 Почему важно: Это основа всех вычислений с рациональными числами

Главное запомнить

✅ Рациональные числа включают дроби, смешанные числа и десятичные дроби ✅ При разных знаках: из большего модуля вычитаем меньший, знак - как у числа с большим модулем ✅ При одинаковых знаках: складываем модули, сохраняем общий знак ✅ Всегда приводи дроби к общему знаменателю перед вычислениями ✅ Вычитание можно заменить сложением с противоположным числом