Сравнение дробей
Сравнение дробей
Введение
Представь: у тебя 3⁄4 пиццы, а у друга 2⁄3 такой же пиццы. Кто съел больше? 🍕
Или другая ситуация: в игре ты прошёл 5⁄8 уровня, а твой друг — 7⁄12. Кто дальше продвинулся? 🎮
Чтобы ответить на такие вопросы, нужно научиться сравнивать дроби. Это как определять, кто выше ростом или у кого больше очков — только с дробями!
Случай 1: Одинаковые знаменатели
Это самая простая ситуация! Когда у дробей одинаковый знаменатель (нижнее число), сравниваем только числители (верхние числа).
Правило: Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой числитель больше.
Пример из жизни
Допустим, шоколадка разделена на 10 долек: - Ты съел 7⁄10 шоколадки - Друг съел 4⁄10 такой же шоколадки
Кто съел больше? Смотрим на числители: 7 > 4, значит 7⁄10 > 4⁄10
Ты победил в этом соревновании! 🏆
Ещё примеры
- 3⁄5 и 4⁄5 — знаменатели одинаковые (5), сравниваем числители: 3 < 4, поэтому 3⁄5 < 4⁄5
- 9⁄12 и 11⁄12 — знаменатели одинаковые (12), числители: 9 < 11, поэтому 9⁄12 < 11⁄12
- 15⁄20 и 8⁄20 — знаменатели одинаковые (20), числители: 15 > 8, поэтому 15⁄20 > 8⁄20
Случай 2: Одинаковые числители
Здесь всё немного хитрее! Когда числители одинаковые, сравниваем знаменатели, но будь внимателен — здесь всё наоборот!
Правило: Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше.
Звучит странно? Сейчас объясню!
Почему так?
Представь две одинаковые пиццы: - Первую разрезали на 3 части, ты взял 1 кусок → получил 1⁄3 - Вторую разрезали на 4 части, друг взял 1 кусок → получил 1⁄4
Чей кусок больше? Конечно, твой! Потому что когда пиццу делят на меньше частей, каждый кусок получается крупнее.
1⁄3 > 1⁄4 (хотя 3 < 4)
Примеры
- 2⁄7 и 2⁄5 — числители одинаковые (2), знаменатели: 7 > 5, поэтому 2⁄7 < 2⁄5
- 5⁄8 и 5⁄10 — числители одинаковые (5), знаменатели: 8 < 10, поэтому 5⁄8 > 5⁄10
- 3⁄4 и 3⁄6 — числители одинаковые (3), знаменатели: 4 < 6, поэтому 3⁄4 > 3⁄6
Случай 3: Разные числители и знаменатели
Это самый сложный случай! Нужно привести дроби к общему знаменателю, а потом сравнить.
Алгоритм действий
Шаг 1: Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей Шаг 2: Найти дополнительные множители для каждой дроби Шаг 3: Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель Шаг 4: Сравнить получившиеся дроби (у них уже одинаковые знаменатели!)
Пример: Сравним 5⁄6 и 3⁄4
Шаг 1: НОК(6, 4) = 12
Шаг 2: - Для 5⁄6: дополнительный множитель = 12 ÷ 6 = 2 - Для 3⁄4: дополнительный множитель = 12 ÷ 4 = 3
Шаг 3: - 5⁄6 = (5×2)/(6×2) = 10⁄12 - 3⁄4 = (3×3)/(4×3) = 9⁄12
Шаг 4: Сравниваем 10⁄12 и 9⁄12 → 10 > 9, поэтому 5⁄6 > 3⁄4
Ещё пример: Сравним 2⁄3 и 5⁄8
Шаг 1: НОК(3, 8) = 24
Шаг 2: - Для 2⁄3: множитель = 24 ÷ 3 = 8 - Для 5⁄8: множитель = 24 ÷ 8 = 3
Шаг 3: - 2⁄3 = 16⁄24 - 5⁄8 = 15⁄24
Шаг 4: 16⁄24 > 15⁄24, поэтому 2⁄3 > 5⁄8
Сравнение смешанных чисел
Когда нужно сравнить смешанные числа (например, 2¾ и 3½), есть два подхода:
Способ 1: Сравнить целые части
Если целые части разные, ответ очевиден: - 3½ > 2¾ (потому что 3 > 2, неважно что там в дробной части) - 5⅔ > 4⅞ (потому что 5 > 4)
Способ 2: Когда целые части одинаковые
Если целые части равны, сравниваем дробные части: - 2⅗ и 2½ → сравниваем 3⁄5 и 1⁄2 → приводим к общему знаменателю → 6⁄10 и 5⁄10 → 2⅗ > 2½
Способ 3: Перевести в неправильные дроби
Иногда проще перевести всё в неправильные дроби и сравнить их: - 1¾ и 1⅚ - 1¾ = 7⁄4 = 21⁄12 - 1⅚ = 11⁄6 = 22⁄12 - 21⁄12 < 22⁄12, поэтому 1¾ < 1⅚
Практика
Лёгкий уровень
Задание 1: Сравни дроби (поставь знак >, < или =) - 3⁄7 __ 5⁄7 - 2⁄9 __ 2⁄9 - 8⁄11 __ 6⁄11 - 4⁄15 __ 9⁄15
Показать решение
- 3⁄7 < 5⁄7 (одинаковые знаменатели, 3 < 5)
- 2⁄9 = 2⁄9 (одинаковые дроби)
- 8⁄11 > 6⁄11 (одинаковые знаменатели, 8 > 6)
- 4⁄15 < 9⁄15 (одинаковые знаменатели, 4 < 9)
Задание 2: Сравни дроби (одинаковые числители) - 1⁄4 __ 1⁄3 - 5⁄8 __ 5⁄12 - 3⁄10 __ 3⁄7 - 7⁄20 __ 7⁄15
Показать решение
- 1⁄4 < 1⁄3 (одинаковые числители, 4 > 3, поэтому первая дробь меньше)
- 5⁄8 > 5⁄12 (одинаковые числители, 8 < 12)
- 3⁄10 < 3⁄7 (одинаковые числители, 10 > 7)
- 7⁄20 < 7⁄15 (одинаковые числители, 20 > 15)
Средний уровень
Задание 3: Сравни дроби, приведя к общему знаменателю - 2⁄3 __ 3⁄4 - 5⁄6 __ 7⁄9 - 3⁄5 __ 4⁄7
Показать решение
- 2⁄3 и 3⁄4: НОК(3,4)=12 → 8⁄12 и 9⁄12 → 2⁄3 < 3⁄4
- 5⁄6 и 7⁄9: НОК(6,9)=18 → 15⁄18 и 14⁄18 → 5⁄6 > 7⁄9
- 3⁄5 и 4⁄7: НОК(5,7)=35 → 21⁄35 и 20⁄35 → 3⁄5 > 4⁄7
Задание 4: Расположи дроби в порядке возрастания - 1⁄2, 2⁄5, 3⁄4, 1⁄3
Показать решение
НОК(2,5,4,3) = 60 - 1⁄2 = 30⁄60 - 2⁄5 = 24⁄60 - 3⁄4 = 45⁄60 - 1⁄3 = 20⁄60
Порядок: 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄4
Задание 5: Сравни смешанные числа - 2⅓ __ 2⅖ - 1⅚ __ 1¾ - 3½ __ 3⅗
Показать решение
- 2⅓ и 2⅖: целые части равны, сравниваем 1⁄3 и 2⁄5 → 5⁄15 и 6⁄15 → 2⅓ < 2⅖
- 1⅚ и 1¾: целые части равны, сравниваем 5⁄6 и 3⁄4 → 10⁄12 и 9⁄12 → 1⅚ > 1¾
- 3½ и 3⅗: целые части равны, сравниваем 1⁄2 и 3⁄5 → 5⁄10 и 6⁄10 → 3½ < 3⅗
Сложный уровень
Задание 6: В игре три друга прошли уровень:
- Миша: 7⁄12 уровня
- Саша: 5⁄9 уровня
- Лёша: 3⁄4 уровня
Расположи их по результатам от худшего к лучшему.
Показать решение
НОК(12,9,4) = 36 - Миша: 7⁄12 = 21⁄36 - Саша: 5⁄9 = 20⁄36 - Лёша: 3⁄4 = 27⁄36
От худшего к лучшему: Саша (5⁄9), Миша (7⁄12), Лёша (3⁄4)
Задание 7: На YouTube-канале: - Видео А набрало 2⁄5 от миллиона просмотров - Видео Б набрало 3⁄8 от миллиона просмотров - Видео В набрало 7⁄20 от миллиона просмотров
Какое видео популярнее всего? Какое на втором месте?
Показать решение
НОК(5,8,20) = 40 - Видео А: 2⁄5 = 16⁄40 - Видео Б: 3⁄8 = 15⁄40 - Видео В: 7⁄20 = 14⁄40
Видео А самое популярное (16⁄40), Видео Б на втором месте (15⁄40)
Задание 8: Верно ли утверждение? “Если числитель одной дроби меньше числителя другой дроби, то и сама дробь меньше”
Показать решение
Неверно! Контрпример: 1⁄2 и 2⁄5 - Числитель: 1 < 2 - Но дроби: 1⁄2 = 5⁄10 и 2⁄5 = 4⁄10, поэтому 1⁄2 > 2⁄5
Правило работает только когда знаменатели одинаковые!
Задание 9: Найди дробь, которая находится ровно посередине между 1⁄3 и 1⁄2
Показать решение
Сначала приведём к общему знаменателю: - 1⁄3 = 2⁄6 - 1⁄2 = 3⁄6
Между 2⁄6 и 3⁄6 находится… подождите, между ними нет дроби со знаменателем 6!
Нужен больший знаменатель: 12 - 1⁄3 = 4⁄12 - 1⁄2 = 6⁄12
Между ними находится 5⁄12
Проверка: 4⁄12 < 5⁄12 < 6⁄12 ✓
Задание 10 (творческое): Придумай три дроби так, чтобы: - Все три дроби были меньше 1 - Первая была меньше 1⁄2 - Вторая была между 1⁄2 и 3⁄4 - Третья была больше 3⁄4 - У всех разные знаменатели
Пример решения
Возможный вариант: - 1⁄3 (это меньше 1⁄2, так как 1⁄3 = 2⁄6 < 3⁄6 = 1⁄2) - 5⁄8 (это между 1⁄2 и 3⁄4, так как 4⁄8 < 5⁄8 < 6⁄8) - 4⁄5 (это больше 3⁄4, так как 16⁄20 > 15⁄20)
Есть много других правильных ответов!
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: “Чем больше знаменатель, тем больше дробь” Многие думают, что 1⁄8 больше, чем 1⁄4, потому что 8 > 4.
✅ Правильно: При одинаковых числителях всё наоборот! 1⁄4 > 1⁄8, потому что когда делишь на меньшее число частей, каждая часть получается крупнее.
💡 Запомни: Представь пиццу: 1 кусок из 4 больше, чем 1 кусок из 8!
❌ Ошибка 2: Сравнивать числители и знаменатели отдельно “3⁄5 < 4⁄7, потому что 3 < 4 и 5 < 7”
✅ Правильно: Нельзя сравнивать числа “крест-накрест”! Нужно привести к общему знаменателю: 3⁄5 = 21⁄35, а 4⁄7 = 20⁄35, поэтому 3⁄5 > 4⁄7
💡 Запомни: Дробь — это единое целое, её нельзя разбивать на части при сравнении.
❌ Ошибка 3: Забывать, что у смешанных чисел сначала сравниваются целые части При сравнении 2⅞ и 3⅛ смотрят только на дробные части: “7⁄8 > 1⁄8, значит 2⅞ > 3⅛”
✅ Правильно: Сначала смотрим на целые: 2 < 3, поэтому 2⅞ < 3⅛, неважно что в дробной части!
💡 Запомни: Целая часть всегда важнее дробной.
❌ Ошибка 4: Путать знаки > и Пишут “5⁄6 < 2⁄3” вместо “5⁄6 > 2⁄3”
✅ Правильно: Острый угол знака всегда указывает на меньшее число. Можно представить знак как клюв птицы, которая хочет съесть бОльшее число: 5⁄6 > 2⁄3
💡 Лайфхак: Большая сторона знака (открытая) — у большего числа!
❌ Ошибка 5: Не упрощать дроби перед сравнением Сравнивают 4⁄6 и 10⁄15, приводя к НОК(6,15)=30, хотя можно было сократить
✅ Правильно: Сначала упрости: 4⁄6 = 2⁄3 и 10⁄15 = 2⁄3, сразу видно что они равны!
💡 Совет: Всегда сокращай дроби перед сравнением — работы будет меньше.
Главное запомнить
✅ Одинаковые знаменатели → сравниваем числители (больше числитель = больше дробь)
✅ Одинаковые числители → сравниваем знаменатели наоборот (меньше знаменатель = больше дробь)
✅ Разные всё → приводим к общему знаменателю, потом сравниваем
✅ Смешанные числа → сначала целые части, потом дробные
✅ Золотое правило: Когда сомневаешься — приведи к общему знаменателю!
Полезные подсказки
🎯 Если нужно сравнить несколько дробей — приведи их все к одному знаменателю (НОК всех знаменателей)
🎯 Любую дробь можно сравнить с ½ — это часто помогает понять примерный размер дроби
🎯 Чтобы проверить себя, переведи дроби в десятичные на калькуляторе
🎯 При сравнении смешанных чисел можно переводить их в неправильные дроби — иногда так проще