Задачу "разделить отрезок на несколько равных частей линейкой и циркулем" или "найти отрезок, если известно, что прямые на чертеже параллельны" почти всегда решают одним и тем же инструментом — теоремой Фалеса. Разберём, что она утверждает, почему это верно и как применять её в задачах.
Определение
Если на одной из двух прямых отметить несколько отрезков, равных между собой, и через их концы провести прямые, параллельные второй прямой, то эти параллельные прямые отсекут на второй прямой отрезки, тоже равные между собой.
Проще говоря: равные отрезки на одной стороне угла при параллельном переносе линий остаются равными и на другой стороне. Теорема не требует, чтобы прямые, образующие угол, были перпендикулярны или имели какой-то особый наклон — утверждение верно для любого угла между ними, в том числе когда прямые вовсе не пересекаются, а идут параллельно друг другу.
Обобщённая теорема Фалеса
Обычная теорема Фалеса работает только с равными отрезками. Для произвольных (не обязательно равных) отрезков существует более общая версия.
Обобщённая теорема Фалеса
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.
Обычная теорема Фалеса — частный случай обобщённой: если отрезки на одной стороне угла равны, то отношение в правой части формулы равно единице, а значит равны и отрезки на второй стороне.
Чем теорема Фалеса отличается от подобия треугольников
Теорема Фалеса говорит только про отрезки на сторонах угла — она ничего не утверждает про отрезки, соединяющие точки на разных сторонах (кроме того, что они параллельны друг другу). Если нужно сравнить именно эти "поперечные" отрезки или найти площади получившихся фигур, теоремы Фалеса недостаточно — там работает подобие треугольников.
Почему это верно
Идея доказательства — свести задачу к свойству параллелограмма и теореме о площадях. Рассмотрим угол с вершиной $O$ и две параллельные прямые $\ell_1 \parallel \ell_2$, пересекающие его стороны в точках $A_1, B_1$ и $A_2, B_2$ так, что $OA_1 = A_1A_2$ (точка $A_1$ — середина). Через точку $B_1$ проведём прямую, параллельную стороне $OA_1A_2$, до пересечения с $\ell_2$ — получится параллелограмм $OA_1B_1C$, в котором $A_1B_1 = OC$. Треугольники $A_1A_2D$ и $B_1$-овский треугольник над отрезком $B_1B_2$ оказываются равными по второму признаку (сторона $A_1A_2 = OA_1 = B_1C$ и равные накрест лежащие углы при параллельных прямых), откуда $B_1B_2 = B_1C = A_1B_1$-составляющая — то есть отрезок $B_1B_2$ равен отрезку $OB_1$. Для большего числа равных отрезков рассуждение повторяется последовательно для каждой соседней пары, и накопленное равенство переносится на всю цепочку отрезков. Строгое доказательство обобщённой версии проводится похожим образом, но вместо равенства треугольников используется их подобие — оно и даёт в ответе не равенство, а пропорцию.
Пример 1: деление отрезка на пять равных частей
Нужно разделить отрезок $AB$ на 5 равных частей, используя только линейку и циркуль. Через точку $A$ проводят произвольный луч, на нём циркулем откладывают 5 равных отрезков $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$. Точку $A_5$ соединяют с точкой $B$ и через точки $A_1, A_2, A_3, A_4$ проводят прямые, параллельные $A_5B$. По теореме Фалеса эти прямые отсекут на отрезке $AB$ пять равных частей — именно так на практике и делят отрезок без измерения длины линейкой.
Пример 2: обобщённая теорема и неизвестный отрезок
На стороне угла с вершиной $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $OA = 4$ см, $AB = 6$ см. На второй стороне угла отмечены точки $C$ и $D$, причём $AC \parallel BD$ и $OC = 5$ см. Нужно найти $CD$.
По обобщённой теореме Фалеса $\dfrac{OA}{AB} = \dfrac{OC}{CD}$, откуда $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{CD}$.
$CD = \dfrac{5 \cdot 6}{4} = 7{,}5$ см.
Пример 3: средняя линия как следствие теоремы Фалеса
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$. Через $M$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, пересекающая сторону $AC$ в точке $N$. Нужно доказать, что $N$ — середина $AC$.
Рассмотрим угол при вершине $A$ с сторонами $AB$ и $AC$. На стороне $AB$ отмечена точка $M$, делящая отрезок $AB$ на две равные части: $AM = MB$. Прямая $MN$ параллельна прямой, проходящей через точку $B$ и точку $C$ (то есть параллельна $BC$), а значит по теореме Фалеса она отсекает на стороне $AC$ равные отрезки: $AN = NC$.
Это и есть доказательство того, что средняя линия треугольника соединяет именно середины сторон.
Частая ошибка
Теорему Фалеса пытаются применить к прямым, которые пересекают не стороны одного угла, а произвольные прямые на чертеже. Теорема работает только тогда, когда есть общая вершина (точка пересечения двух прямых, которые делятся отрезками), и секущие прямые параллельны друг другу. Если на чертеже прямые, образующие "угол", сами не пересекаются в одной точке — нужно сначала продолжить их до пересечения или искать другой подход, например подобие треугольников.
Частая ошибка
В обобщённой теореме путают, что именно пропорционально чему. Отрезки на одной стороне угла соотносятся друг с другом так же, как соответствующие им отрезки на другой стороне — но нельзя составлять пропорцию "вперемешку", связывая отрезок одной стороны с отрезком другой стороны, которому он не соответствует по порядку точек.
Где эта теорема встречается в задачах
Теорема Фалеса — рабочий инструмент в задачах на деление отрезков в заданном отношении, в доказательстве свойств средней линии треугольника и трапеции, а также в задачах на масштабирование чертежей и планов местности, где нужно перенести пропорции с одного чертежа на другой. На экзамене она часто скрывается за формулировкой "докажите, что прямая делит сторону треугольника пополам" или "найдите отрезок, если прямые на рисунке параллельны".
Частые вопросы
Нужно ли, чтобы угол между прямыми был острым? Нет, теорема верна для любого угла, в том числе для развёрнутого (то есть когда стороны угла представляют собой одну прямую, разделённую точкой пересечения на два луча).
Можно ли использовать теорему Фалеса для трёх и более параллельных прямых? Да, именно в таком виде её чаще всего и формулируют и доказывают: несколько параллельных прямых отсекают на обеих сторонах угла соответственно равные (или пропорциональные) отрезки.
Как теорема Фалеса связана со средней линией треугольника? Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, — это прямая, которая по теореме Фалеса (примененной в обратную сторону) обязана быть параллельна третьей стороне, и наоборот: прямая, параллельная третьей стороне и проходящая через середину одной стороны, обязательно проходит через середину другой.
Работает ли теорема, если прямые не параллельны? Нет, параллельность секущих прямых — обязательное условие. Без неё отрезки на сторонах угла не будут ни равными, ни пропорциональными в общем случае.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: На стороне угла отмечены точки так, что три отрезка подряд равны между собой: $OA = AB = BC$. Через точки $A$, $B$, $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ (точка $O$ общая для обеих сторон). Известно, что $OA_1 = 3$ см. Найдите $OC_1$.
$OC_1 = OA_1 + A_1B_1 + B_1C_1 = 3 + 3 + 3 = \textbf{9 см}$.
Задача 2: На одной стороне угла с вершиной $O$ отмечены точки $A$ и $B$: $OA = 5$ см, $OB = 8$ см. На второй стороне отмечены точки $C$ и $D$ так, что $AC \parallel BD$, и $OC = 6$ см. Найдите $OD$.
$\dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{OD} \;\Rightarrow\; OD = \dfrac{6 \cdot 8}{5} = \textbf{9,6 см}$.
Задача 3: Отрезок $AB$ нужно разделить в отношении $2:3$, считая от точки $A$. Опишите, как это сделать с помощью теоремы Фалеса, и укажите, на сколько равных частей нужно разбить вспомогательный луч.
Через точку $A$ проводят произвольный луч и откладывают на нём циркулем 5 равных отрезков. Конец пятого отрезка соединяют с точкой $B$, а через конец второго отрезка проводят прямую, параллельную этому соединяющему отрезку. По теореме Фалеса она пересечёт $AB$ в точке, делящей его в отношении $2:3$.
Задача 4: В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, причём $AM:MB = AN:NC = 1:2$. Докажите, что $MN \parallel BC$, и найдите отношение $AM:AB$.
Из отношения $AM:MB = 1:2$ следует, что $AB$ делится на $1 + 2 = 3$ части, и $AM$ составляет одну из них: $AM:AB = \textbf{1:3}$.
Главное запомнить
- Теорема Фалеса: равные отрезки на одной стороне угла при параллельных секущих дают равные отрезки на другой стороне
- Обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные (не обязательно равные) отрезки
- Обязательные условия — общая вершина угла и параллельность секущих прямых
- Теорема лежит в основе деления отрезка на равные части циркулем и линейкой и доказательства свойства средней линии треугольника
- Теорема Фалеса сравнивает только отрезки на сторонах угла — для "поперечных" отрезков и площадей нужно подобие треугольников
Что почитать дальше
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.