"Если 3 яблока стоят 90 рублей, сколько стоят 5 яблок?" — классическая задача на пропорцию, с которой сталкивается каждый. Разберём, как решать такие примеры быстро и без ошибок.
Что такое пропорция
📘 Определение
Пропорция — это равенство двух отношений: a/b = c/d. Читается "а относится к б, как ц относится к д".
💡 Крайние и средние члены
В пропорции a : b = c : d числа a и d называются крайними членами, а b и c — средними. Это пригодится для основного свойства.
Основное свойство пропорции
📘 Правило
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов: a × d = b × c.
Именно на этом свойстве строится решение почти любой пропорции с неизвестным.
Как найти неизвестный член пропорции
Запиши пропорцию
3/90 = 5/x (3 яблока — 90 рублей, 5 яблок — x рублей)
Перемножь крест-накрест
3 × x = 90 × 5, то есть 3x = 450
Найди неизвестное
x = 450 / 3 = 150 рублей
Частая ошибка
Путают, что на что делить, и составляют пропорцию "наоборот": 90/3 = x/5 — на самом деле это тоже верно (это та же пропорция, просто отношения перевёрнуты одинаково с двух сторон), но опасно смешивать местами только одну часть — например 3/90 = x/5 вместо 3/90 = 5/x. Правило: одинаковые по смыслу величины (штуки к штукам, рубли к рублям) должны стоять на одинаковых позициях с обеих сторон.
Прямая и обратная пропорциональность
Прямая пропорциональность
Чем больше одна величина, тем больше другая (в той же пропорции). Пример: больше яблок — больше денег. Формула: y = kx.
Обратная пропорциональность
Чем больше одна величина, тем меньше другая. Пример: чем больше рабочих, тем быстрее закончат работу — время уменьшается. Формула: y = k/x.
💡 Как отличить на практике
Задай вопрос: "если первая величина вырастет, вторая тоже вырастет или, наоборот, уменьшится?" Растёт вместе — прямая. Одна растёт, другая падает — обратная.
Пропорции в машинном обучении
🤖 Где встречается в ML
Разбиение датасета на обучающую и тестовую выборки (например, 80% на 20%) — это прямое применение пропорций: если известно общее число примеров, легко найти, сколько именно строк попадёт в каждую часть. А нормализация признаков (приведение значений к одному масштабу, например от 0 до 1) фактически строится на составлении пропорции между старым и новым диапазоном значений.
Проверь себя
Задачи
Задача 1: Реши пропорцию: 4/x = 8/20
Ответ: x = 10
Задача 2: На карте масштаб 1:1000000. Расстояние на карте между городами 3 см. Какое расстояние на местности?
3 см × 1000000 = 3000000 см = 30 км
Задача 3: 5 рабочих красят забор за 12 часов. За сколько часов покрасят забор 10 рабочих (обратная пропорциональность)?
60 = 10x → x = 6 часов
📝 Главное запомнить
- Пропорция — это равенство двух отношений: a/b = c/d
- Основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних (a × d = b × c)
- Прямая пропорциональность — обе величины растут вместе, обратная — одна растёт, другая падает
- Следи, чтобы одинаковые по смыслу величины стояли на одинаковых местах в обеих частях пропорции
Хочешь разобрать пропорции на практике — попробуй диалог с бесплатным AI-репетитором в Telegram, он разберёт любую задачу на пропорцию пошагово.