Медиана треугольника: свойства, формула и точка пересечения

Медиану часто путают с высотой и биссектрисой — все три отрезка выходят из вершины треугольника, но устроены по-разному и в задачах ведут себя по-разному. В этой статье разберём точное определение медианы, формулу для вычисления её длины, ключевое свойство точки пересечения трёх медиан и отдельный частный случай — медиану, проведённую к гипотенузе прямоугольного треугольника.

Определение

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В треугольнике три медианы — по одной из каждой вершины, и все три пересекаются в одной точке.

Чем медиана отличается от высоты и биссектрисы

Высота опускается из вершины перпендикулярно противоположной стороне (или её продолжению), биссектриса делит угол вершины пополам, а медиана делит пополам не угол, а противоположную сторону. В произвольном треугольнике это три разных отрезка с разными длинами. Совпадают они только в равнобедренном треугольнике — и лишь та медиана, биссектриса и высота, что проведены к основанию (из вершины между боковыми сторонами); две другие медианы, биссектрисы и высоты при этом остаются разными отрезками.

Точка пересечения медиан и отношение 2:1

AM : MO = 2 : 1

M — точка пересечения медиан, O — середина стороны, AM — часть медианы от вершины

Три медианы треугольника всегда пересекаются в одной точке — её называют центроидом или точкой пересечения медиан. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины: расстояние от вершины до точки пересечения ровно в два раза больше расстояния от точки пересечения до середины стороны.

Убедиться в этом можно через среднюю линию. Пусть в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$. Отрезок $MN$ — средняя линия, она параллельна стороне $BC$ и равна её половине. Медианы $BN$ и $CM$ пересекаются в некоторой точке $O$. Треугольники $MNO$ и $CBO$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных $MN$ и $BC$), причём коэффициент подобия равен отношению $MN$ к $BC$, то есть $1:2$. Значит, $BO:ON=2:1$ и $CO:OM=2:1$ — точка $O$ делит обе эти медианы в отношении 2:1 от вершины. Третья медиана по тому же рассуждению делится в той же точке в том же отношении, поэтому все три медианы пересекаются именно в ней.

Формула длины медианы

m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}

m_a — медиана к стороне a; b и c — две другие стороны треугольника

Формула выражает длину медианы через длины всех трёх сторон треугольника. Буква при медиане и знак минус в формуле относятся к той стороне, к которой медиана проведена: если медиана идёт к стороне $a$, то именно $a^2$ вычитается, а $b^2$ и $c^2$ (две другие стороны) складываются с коэффициентом 2. Формулу выводят через теорему косинусов, применённую сразу к двум треугольникам, на которые медиана делит исходный: составляют выражение для косинуса угла при основании медианы с двух сторон и складывают полученные уравнения так, чтобы косинус исчез.

Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника

m_c = \frac{c}{2}

m_c — медиана к гипотенузе c в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это частный случай общей формулы: если угол между сторонами $a$ и $b$ прямой, то по теореме Пифагора $c^2 = a^2+b^2$, и подстановка в общую формулу медианы к стороне $c$ даёт $m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}=\frac12\sqrt{2c^2-c^2}=\frac{c}{2}$. Геометрически это же свойство следует из теоремы об окружности, описанной около прямоугольного треугольника: гипотенуза — её диаметр, а середина гипотенузы — центр этой окружности, значит расстояние от неё до каждой вершины (в том числе до вершины прямого угла) равно радиусу, то есть половине гипотенузы.

Пример 1: длина медианы по трём сторонам

В треугольнике $ABC$ стороны равны $a=BC=6$, $b=AC=8$, $c=AB=10$. Найдите медиану, проведённую к стороне $BC$.

Медиана к стороне $a$ вычисляется по формуле $m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$. Подставляем: $m_a=\frac12\sqrt{2\cdot64+2\cdot100-36}=\frac12\sqrt{128+200-36}=\frac12\sqrt{292}=\sqrt{73}\approx8{,}54$.

Пример 2: медиана к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 и 12. Найдите медиану, проведённую из вершины прямого угла к гипотенузе.

Сначала находим гипотенузу по теореме Пифагора: $c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$. Медиана к гипотенузе равна её половине: $m_c=15:2=7{,}5$.

Пример 3: применяем отношение 2:1

Медиана треугольника $CM$ имеет длину 18 см и пересекает медиану $BN$ в точке $O$. Найдите отрезки, на которые точка $O$ делит медиану $CM$.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины. Значит, весь отрезок $CM$ делится на 3 равные части: $CO=\frac23\cdot18=12$ см (от вершины $C$ до точки пересечения) и $OM=\frac13\cdot18=6$ см (от точки пересечения до середины стороны $AB$). Проверка: $12:6=2:1$ — отношение верное.

Частая ошибка

Самая частая ошибка — подставить в формулу длины медианы не ту сторону: вычесть под корнем не квадрат стороны, к которой проведена медиана, а квадрат одной из двух других сторон. Чтобы не ошибиться, всегда сначала называйте сторону, к которой идёт медиана, и подставляйте именно её со знаком минус. Вторая типичная ошибка — считать, что точка пересечения делит медиану пополам: отношение не $1:1$, а $2:1$ от вершины, и путаница с этим часто портит ответ в задачах на нахождение площадей или длин отрезков.

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Стороны треугольника равны 5, 5 и 8. Найдите медиану, проведённую к стороне, равной 8.

По формуле $m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$, где $a=8$, $b=c=5$:
$m_a=\frac12\sqrt{2\cdot25+2\cdot25-64}=\frac12\sqrt{50+50-64}=\frac12\sqrt{36}=3$.
Ответ: медиана равна 3.

Задача 2: В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна 6,5 см. Найдите длину гипотенузы.

Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: $m_c=\frac{c}{2}$.
Значит, $c=2\cdot6{,}5=13$ см.
Ответ: гипотенуза равна 13 см.

Задача 3: Точка пересечения медиан треугольника делит медиану $AM$ так, что отрезок от вершины $A$ до точки пересечения равен 10 см. Найдите длину всей медианы $AM$.

Отрезок от вершины до точки пересечения составляет $\frac23$ всей медианы.
Если $\frac23 AM=10$, то $AM=10:\frac23=15$ см.
Ответ: медиана $AM$ равна 15 см.

Задача 4: В треугольнике со сторонами 7, 9 и 12 найдите медиану, проведённую к стороне, равной 12.

По формуле $m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$, где $a=12$, $b=7$, $c=9$:
$m_a=\frac12\sqrt{2\cdot49+2\cdot81-144}=\frac12\sqrt{98+162-144}=\frac12\sqrt{116}=\sqrt{29}\approx5{,}39$.
Ответ: медиана равна $\sqrt{29}\approx5{,}39$.

Задача 5: Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB=AC$. Докажите, что медиана $AM$, проведённая к основанию $BC$, является также высотой этого треугольника.

$M$ — середина $BC$, значит $BM=MC$. Стороны $AB=AC$ по условию, сторона $AM$ — общая для треугольников $ABM$ и $ACM$. Все три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого, значит $\triangle ABM=\triangle ACM$ по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle AMB=\angle AMC$. Эти углы смежные (лежат на прямой $BC$ по одну сторону от точки $M$), поэтому их сумма равна $180°$, а значит каждый из них равен $90°$.
Ответ: $AM\perp BC$, то есть медиана $AM$ одновременно является высотой.

Главное запомнить

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны — в отличие от высоты и биссектрисы
Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины
Длина медианы к стороне $a$: $m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$
В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой и биссектрисой

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.