Тариф на такси считается по-разному для первых минут поездки и для всех следующих, почтовая посылка до 1 кг стоит одну сумму, а свыше — другую с каждого килограмма. Одной формулой такую зависимость не описать — а вот несколько формул, каждая на своём участке, справляются легко. Это и есть кусочно-заданная функция: разберём, как её читать, строить график и не ошибиться на границах кусков.
Определение
Кусочно-заданная функция — это функция, которая задаётся не одной формулой, а несколькими: область определения разбита на несколько промежутков, и на каждом промежутке функция вычисляется по своей собственной формуле.
Записывают такую функцию фигурной скобкой, где слева — формулы, а справа — промежутки, на которых каждая из них работает:
Чтобы вычислить значение такой функции в конкретной точке, сначала нужно определить, в какой из промежутков попадает эта точка, а затем подставить число именно в ту формулу, которая отвечает за этот промежуток. Подставить число в «не свою» строчку — самая частая причина неверного ответа в таких заданиях.
Как построить график кусочной функции
Алгоритм построения
1. Выпиши все промежутки из условия и отметь их границы на оси $x$.
2. Для каждого промежутка построй график соответствующей формулы, но только на этом промежутке — остальную часть параболы, прямой или гиперболы отбрось.
3. Проверь каждую границу: если точка входит в промежуток (неравенство нестрогое, $\le$ или $\ge$), отметь её закрашенным кружком; если не входит (неравенство строгое, $<$ или $>$), отметь выколотой точкой.
4. Посмотри, что происходит в точке стыка: куски могут сходиться в одной точке (график непрерывен) или давать скачок — это не ошибка, а особенность функции.
Главное отличие от обычного построения графика — на каждом шаге рисуется не вся кривая, а только тот её кусок, который попадает в заданный промежуток. Если забыть про это ограничение, легко нарисовать график квадратичной функции на всей числовой прямой там, где должен быть только её правый «хвост».
Частая ошибка
Самая частая ошибка — спутать открытую и закрытую точку на границе промежутка. Нестрогое неравенство ($x \le 0$) означает, что граничная точка принадлежит этому куску и на графике она закрашена; строгое неравенство ($x > 0$) — что точка не принадлежит, и на графике она выколота (кружок без закрашивания). Если одна и та же граница закрашена с двух сторон — это ошибка: точка должна принадлежать ровно одному куску, иначе функция в этой точке была бы определена дважды и неоднозначно.
Пример 1: вычислить значение функции
Пример 1
Дана функция $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x < 1 \\ 5-x, & x \ge 1 \end{cases}$. Найдём $f(-2)$, $f(1)$ и $f(4)$.
Для $x=-2$: $-2 < 1$, значит берём первую строку: $f(-2) = 2\cdot(-2)+3 = -4+3 = -1$.
Для $x=1$: неравенство $x \ge 1$ включает единицу, значит берём вторую строку: $f(1) = 5-1 = 4$.
Для $x=4$: $4 \ge 1$, снова вторая строка: $f(4) = 5-4 = 1$.
Ответ: $f(-2)=-1$, $f(1)=4$, $f(4)=1$.
Обратите внимание: при $x=1$ подходит только вторая строка, потому что в первой стоит строгое неравенство $x<1$, которое единицу не включает. Если бы границы в обеих строчках были нестрогими, функция оказалась бы некорректно определена — в точке $x=1$ сразу по двум формулам.
Пример 2: модуль как кусочная функция
Функция модуля — пожалуй, самый известный пример кусочно-заданной функции, хотя её редко воспринимают именно так.
Пример 2
Функция $y = |x-2|$ раскрывается через определение модуля:
$y = \begin{cases} x-2, & x \ge 2 \\ -(x-2), & x < 2 \end{cases} = \begin{cases} x-2, & x \ge 2 \\ 2-x, & x < 2 \end{cases}$
При $x \ge 2$ выражение под модулем неотрицательно, и модуль снимается без изменения знака. При $x<2$ выражение $x-2$ отрицательно, и модуль меняет знак на противоположный.
График — это «галочка» с вершиной в точке $(2, 0)$: правая часть — луч $y=x-2$, левая — луч $y=2-x$, оба выходят из одной точки.
Любое выражение с модулем можно переписать как кусочную функцию, раскрыв модуль по определению на промежутках, где выражение под ним сохраняет знак. Это стандартный приём для построения графиков и решения уравнений и неравенств с модулем.
Пример 3: прямая с одной общей точкой
Отдельный тип задач — найти, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком кусочной функции ровно одну общую точку. Разберём на конкретном случае.
Пример 3
Дана функция $f(x) = \begin{cases} -x-1, & x \le -1 \\ x^2-1, & x > -1 \end{cases}$. Найдём, при каких значениях $b$ прямая $y=b$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
При $x \le -1$ график — луч прямой $y=-x-1$, убывающий; в точке $x=-1$ его значение $f(-1) = -(-1)-1 = 0$, а при $x \to -\infty$ значение растёт до $+\infty$. Значит этот кусок покрывает все значения $y \ge 0$, причём каждое значение $y>0$ достигается на этом луче ровно один раз, а $y=0$ — в точке стыка $x=-1$.
При $x>-1$ график — правая часть параболы $y=x^2-1$ без вершины-включения; в этой параболе минимум в точке $x=0$: $f(0)=-1$, а при $x \to -1^+$ значение стремится к $f(-1)=0$, но не достигает его, так как точка $x=-1$ сюда не входит. Значит на этом куске значения $y$ заполняют промежуток $[-1, 0)$, причём на участке от $x=-1$ (не включая) до $x=0$ функция убывает от $0$ до $-1$, а затем возрастает от $-1$ дальше при $x>0$ — то есть каждое значение из $(-1, 0)$ достигается здесь дважды, а значение $y=-1$ — один раз, в вершине параболы.
Горизонтальная прямая $y=b$ пересечёт график ровно один раз в трёх случаях: при $b>0$ (только на луче), при $b=-1$ (только в вершине параболы) и важно проверить стык — при $b=0$ прямая проходит и через точку стыка $(-1,0)$ луча, и является предельным (но не достигаемым) значением параболы, поэтому пересечение здесь тоже единственное.
Ответ: $b \in \{-1\} \cup [0, +\infty)$.
Такие задачи решаются не формулой, а анализом поведения каждого куска: нужно понять, какие значения $y$ принимает каждая часть графика и сколько раз, а затем сравнить результаты на стыке кусков — именно там чаще всего и находятся граничные случаи.
Как действовать с параметром
1. Построй или представь график каждого куска отдельно.
2. Для каждого куска определи множество значений, которые он принимает, и сколько раз достигается каждое значение (один раз — на монотонном участке, два раза — если кусок сначала убывает, потом возрастает, как у параболы).
3. Отдельно разбери точки стыка — закрытые или выколотые — они часто дают граничные значения параметра.
4. Объедини результат: значения, при которых общее количество пересечений равно 1 (или другому нужному числу по условию).
Частые вопросы
Может ли кусочная функция быть непрерывной? Да, если в каждой точке стыка значения, к которым подходят соседние куски, совпадают. В примере 3 значение $0$ получается и с луча ($f(-1)=0$), и как предел параболы при $x \to -1^+$ — это признак того, что график не имеет разрыва в этой точке, хотя формулы с обеих сторон разные.
Что если точка не попадает ни в один из промежутков? Значит, эта точка не входит в область определения функции, и значение в ней не существует. Такое бывает, если в условии промежутки заданы с «пробелом», например $x<0$ и $x>1$ без указания, что происходит на $[0,1]$.
Нужно ли всегда раскрывать модуль как кусочную функцию? Не всегда, но для построения графика или решения уравнения с модулем это самый надёжный способ: он превращает выражение с модулем в набор обычных формул на разных промежутках, с которыми дальше работают уже привычными методами.
Как проверить, что график построен верно? Подставь несколько значений $x$ из разных кусков — включая граничные точки — в соответствующие формулы и сравни результат с тем, что получилось на графике. Отдельно убедись, что на стыке стоит либо закрашенная точка с одной стороны и выколотая с другой, либо обе формулы в точке стыка дают одно и то же значение.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Дана функция $f(x) = \begin{cases} 3x-2, & x \le 2 \\ x^2-3, & x>2 \end{cases}$. Найдите $f(2)$ и $f(3)$.
$x=3$ входит во второй промежуток: $f(3) = 3^2-3 = 6$.
Ответ: $f(2)=4$, $f(3)=6$.
Задача 2: Запишите функцию $y=|2x-4|$ как кусочно-заданную.
$y = \begin{cases} 2x-4, & x \ge 2 \\ 4-2x, & x < 2 \end{cases}$
Задача 3: Дана функция $f(x) = \begin{cases} x+4, & x<-1 \\ -2x+1, & x \ge -1 \end{cases}$. При каком значении $x$ значение функции равно нулю?
Проверим вторую формулу: $-2x+1=0 \Rightarrow x=0.5$. Условие $x \ge -1$ выполняется, корень тоже подходит.
Ответ: $x=-4$ и $x=0.5$.
Задача 4: Функция задана графиком из двух лучей: при $x \le 0$ это луч $y=-x$, при $x>0$ — луч $y=2x$. Есть ли разрыв в точке $x=0$?
Предел второй формулы при $x \to 0^+$: $2\cdot0=0$.
Значения совпадают, значит разрыва нет, график непрерывен в этой точке, хотя образован двумя разными лучами с разным наклоном (точка излома, но не разрыва).
Задача 5: Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ c, & x > 0 \end{cases}$. При каком значении $c$ функция непрерывна в точке $x=0$?
Чтобы кусков сходились в одной точке без скачка, вторая часть при приближении к нулю должна давать то же значение: $c=0$.
Ответ: $c=0$.
Главное запомнить
- Кусочно-заданная функция задаётся несколькими формулами, каждая — на своём промежутке области определения
- Чтобы найти значение функции в точке, сначала определи, в какой промежуток она попадает, и подставляй только в соответствующую формулу
- На границе промежутка нестрогое неравенство даёт закрашенную точку на графике, строгое — выколотую
- Любое выражение с модулем можно записать как кусочную функцию, раскрыв модуль по определению знака подмодульного выражения
- В задачах про прямую с одной общей точкой нужно отдельно разобрать каждый кусок и особое внимание уделить точкам стыка
Что почитать дальше
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.