В обычном уравнении переменная может стоять где угодно, а в дробно-рациональном она обязательно попадает в знаменатель хотя бы одной дроби. Это меняет правила игры: часть чисел на числовой прямой становится запрещённой, и уравнение, решённое формально верно, может дать корень, который на самом деле отвечать не имеет права. Разберём, как находить настоящие решения и не попадаться на эту ловушку.
Определение
Дробно-рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная входит в знаменатель хотя бы одной дроби. После переноса всех членов в одну сторону такое уравнение сводится к виду $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.
Область допустимых значений
Знаменатель дроби не может быть равен нулю — делить на ноль нельзя. Поэтому прежде чем решать уравнение, нужно исключить из рассмотрения те значения $x$, при которых хотя бы один знаменатель обращается в ноль.
ОДЗ находят отдельно для каждого знаменателя, встречающегося в уравнении, и объединяют запреты в один список значений, которые корнями быть не могут, какой бы красивой ни получилась алгебра дальше.
Алгоритм решения
Как решать дробно-рациональное уравнение
1. Найти ОДЗ — значения $x$, при которых знаменатели не равны нулю.
2. Перенести все члены уравнения в одну часть и привести дроби к общему знаменателю.
3. Уравнение $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$ при условии ОДЗ эквивалентно уравнению $P(x) = 0$ — дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Решить получившееся уравнение $P(x) = 0$ — обычно линейное или квадратное.
5. Сравнить найденные корни с ОДЗ и отбросить те, что туда не попадают.
Шаг 5 — не формальность для порядка, а необходимая часть решения. Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель, содержащий переменную, может превратить неверное равенство в верное для какого-то конкретного числа, которое при этом остаётся запрещённым исходной дробью. Такой корень называют посторонним: он решает преобразованное уравнение, но не решает исходное — при подстановке в исходное выражение в знаменателе получается ноль.
Пример 1: уравнение с одной дробью
Пример 1
Решим уравнение $\dfrac{x+1}{x-3} = 5$.
ОДЗ: $x \ne 3$.
Умножаем обе части на $x - 3$: $x + 1 = 5(x-3)$.
$x + 1 = 5x - 15$
$1 + 15 = 5x - x$
$16 = 4x$
$x = 4$.
Корень $4 \ne 3$, значит он входит в ОДЗ. Ответ: $x = 4$.
Пример 2: две дроби с разными знаменателями
Пример 2
Решим уравнение $\dfrac{3}{x+1} - \dfrac{2}{x-1} = \dfrac{1}{x^2-1}$.
Заметим, что $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$, поэтому ОДЗ: $x \ne -1$, $x \ne 1$.
Общий знаменатель — $(x+1)(x-1)$. Умножаем на него обе части:
$3(x-1) - 2(x+1) = 1$
$3x - 3 - 2x - 2 = 1$
$x - 5 = 1$
$x = 6$.
Корень $6$ не совпадает ни с $-1$, ни с $1$. Ответ: $x = 6$.
Второй пример показывает, зачем раскладывать знаменатели на множители перед тем, как искать общий знаменатель: $x^2 - 1$ — это тот же самый множитель $(x+1)(x-1)$, что уже стоит в других знаменателях, только записанный в свёрнутом виде. Не разложив его, легко взять в качестве общего знаменателя куда более громоздкое выражение и усложнить себе вычисления.
Пример 3: уравнение с посторонним корнем
Пример 3
Решим уравнение $\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{8}{x^2-4}$.
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, поэтому ОДЗ: $x \ne 2$, $x \ne -2$.
Умножаем обе части на $(x-2)(x+2)$:
$x(x+2) + 2(x-2) = 8$
$x^2 + 2x + 2x - 4 = 8$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
По формуле корней квадратного уравнения: $D = 16 + 48 = 64$, $\sqrt{D} = 8$.
$x = \dfrac{-4 \pm 8}{2}$, то есть $x = 2$ или $x = -6$.
Корень $x = 2$ запрещён ОДЗ — это посторонний корень, его отбрасываем. Остаётся только $x = -6$.
Ответ: $x = -6$.
Частая ошибка
Самая частая ошибка — найти ОДЗ, но забыть к нему вернуться после решения уравнения без знаменателей, и записать в ответ все найденные корни подряд. Вторая по частоте ошибка — не заметить, что два разных знаменателя на самом деле связаны: например, $x^2 - 4$ и $x + 2$ имеют общий множитель, и общий знаменатель для всех дробей уравнения нужно подбирать с учётом разложения на множители, а не просто перемножать все знаменатели между собой.
Частые вопросы
Что если после отбрасывания посторонних корней не остаётся ни одного? Это нормальный результат — значит, у исходного уравнения нет решений. Так бывает, если все найденные корни квадратного или линейного уравнения совпадают с запретами ОДЗ.
Нужно ли всегда приводить к общему знаменателю? Это самый надёжный способ, но иногда можно действовать проще — например, перенести дроби так, чтобы получилось равенство двух дробей, и воспользоваться правилом пропорции: если $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, то $ad = bc$ (при условии, что знаменатели не равны нулю).
Чем дробно-рациональное уравнение отличается от дробно-рационального неравенства? В уравнении после приведения к виду $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$ достаточно решить $P(x) = 0$ и проверить ОДЗ. В неравенстве знак дроби зависит и от числителя, и от знаменателя одновременно, поэтому там применяют метод интервалов, а не просто отбрасывают часть корней.
Может ли посторонний корень быть «почти правильным» числом? Да, внешне он ничем не отличается от обычного решения — чтобы его опознать, корень всегда нужно сравнивать именно с ОДЗ, а не с тем, «выглядит ли он разумно».
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Решите уравнение $\dfrac{2x-1}{x+4} = 3$.
$2x - 1 = 3(x+4) = 3x + 12$
$2x - 3x = 12 + 1$
$-x = 13$
$x = -13$ — входит в ОДЗ.
Ответ: $x = -13$.
Задача 2: Решите уравнение $\dfrac{5}{x-3} + 2 = \dfrac{7}{x-3}$.
Перенесём дробные члены в одну сторону: $\dfrac{5}{x-3} - \dfrac{7}{x-3} = -2$
$\dfrac{-2}{x-3} = -2$
$x - 3 = 1$
$x = 4$ — входит в ОДЗ.
Ответ: $x = 4$.
Задача 3: Решите уравнение $\dfrac{x-3}{x+2} = 1$.
$x - 3 = x + 2$
$-3 = 2$ — неверное числовое равенство, переменная исчезла.
Ответ: решений нет.
Задача 4: Решите уравнение $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2}{x^2-1}$.
$x(x+1) - (x-1) = 2$
$x^2 + x - x + 1 = 2$
$x^2 + 1 = 2$
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$ — оба значения запрещены ОДЗ.
Ответ: решений нет.
Задача 5: Решите уравнение $\dfrac{2}{x-5} = \dfrac{1}{x+1}$.
По правилу пропорции: $2(x+1) = x - 5$
$2x + 2 = x - 5$
$x = -7$ — входит в ОДЗ.
Ответ: $x = -7$.
Главное запомнить
- Дробно-рациональное уравнение — уравнение, где переменная входит в знаменатель хотя бы одной дроби
- ОДЗ находят первым шагом: знаменатели не могут быть равны нулю
- Уравнение $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$ сводится к $P(x) = 0$ при условии, что найденный корень входит в ОДЗ
- Корень, который решает уравнение после умножения на знаменатель, но запрещён ОДЗ, называется посторонним и отбрасывается
- Если все найденные корни оказались посторонними, у уравнения нет решений
Что почитать дальше
- Общие сведения об уравнениях
- Квадратные уравнения: от простого к сложному
- Действия с дробями
- Подготовка к ОГЭ по математике
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.