Два раствора разной концентрации смешали — какая концентрация получится? В сплав добавили чистый металл — как изменится его доля? Такие задачи пугают не математикой, а условием: кажется, что данных не хватает. На самом деле всё держится на одном законе сохранения массы вещества, и после разбора пары примеров схема решения становится почти автоматической.
Определение
Концентрация (массовая доля) вещества в растворе или сплаве — это отношение массы самого вещества к массе всего раствора (сплава). Если концентрацию выражают в процентах, отношение умножают на 100%.
Отсюда же следует обратная формула: масса вещества в растворе равна концентрации, умноженной на массу раствора — $m_{в} = c \cdot m_{р}$. Именно эта формула используется в каждой задаче на смеси.
Главное уравнение задач на смеси
Закон сохранения массы вещества
Когда два раствора (сплава) смешивают, масса растворённого вещества в смеси равна сумме масс вещества в каждом из исходных растворов — вещество не появляется и не исчезает, меняется только масса растворителя или общая масса смеси.
Это уравнение работает не только при смешивании двух готовых растворов. Чистое вещество — это раствор с концентрацией 100%, чистая вода (или чистый металл, который не входит в сплав) — раствор с концентрацией 0%, а испарившаяся вода — это уменьшение общей массы без изменения массы растворённого вещества. Поэтому одна и та же формула покрывает четыре внешне разных сюжета: смешивание растворов, разбавление водой, добавление чистого вещества и испарение.
Почему нельзя просто сложить проценты
Частая интуитивная ошибка — считать, что при смешивании 20%-го и 50%-го раствора получится (20 + 50) / 2 = 35%. Это верно только если массы растворов равны. Концентрация смеси — это средневзвешенное по массам, а не простое среднее арифметическое процентов: раствора с большей массой "весит" в итоговой концентрации больше.
Как составить уравнение: три шага
- Обозначить неизвестную массу (обычно это масса одного из растворов или количество добавленного вещества/воды) через $x$.
- Выразить массу вещества в каждой части через концентрацию и массу: $m_в = c \cdot m_р$.
- Записать уравнение баланса: сумма масс вещества до смешивания равна массе вещества после.
Дальше — обычное уравнение с одной переменной. Удобно свести все данные в таблицу: строки — "было 1", "было 2", "стало", столбцы — масса раствора, концентрация, масса вещества (последний столбец — произведение первых двух). Произведения в третьем столбце и дают нужное уравнение.
Пример 1: смешивание двух растворов
Смешали раствор кислоты с концентрацией 20% и раствор кислоты с концентрацией 50% и получили 300 г раствора с концентрацией 30%. Сколько граммов каждого раствора взяли?
Пусть масса первого раствора — $x$ г, тогда масса второго — $(300 - x)$ г. Масса кислоты в смеси: $0{,}2x + 0{,}5(300 - x) = 0{,}3 \cdot 300$.
$0{,}2x + 150 - 0{,}5x = 90$
$-0{,}3x = -60$
$x = 200$.
Значит, взяли 200 г 20%-го раствора и $300 - 200 = \textbf{100 г}$ 50%-го раствора. Проверка: $0{,}2 \cdot 200 + 0{,}5 \cdot 100 = 40 + 50 = 90$ г кислоты, а $0{,}3 \cdot 300 = 90$ г — совпадает.
Пример 2: добавление чистого металла в сплав
Сплав меди и цинка массой 10 кг содержит 40% меди. К сплаву добавили чистую медь, и после этого доля меди стала 60%. Сколько килограммов чистой меди добавили?
Масса меди до добавления: $0{,}4 \cdot 10 = 4$ кг. Пусть добавили $x$ кг чистой меди (концентрация 100%). Масса сплава стала $(10 + x)$ кг, масса меди в нём — $(4 + x)$ кг. По условию эта доля равна 60%:
$\dfrac{4 + x}{10 + x} = 0{,}6$
$4 + x = 6 + 0{,}6x$
$0{,}4x = 2 \;\Rightarrow\; x = 5$.
Добавили 5 кг чистой меди. Проверка: медь стала $4 + 5 = 9$ кг, весь сплав — $15$ кг, доля $9 / 15 = 0{,}6 = 60\%$.
Пример 3: испарение воды
Раствор соли массой 400 г содержит 5% соли. Часть воды испарили, и концентрация соли стала 8%. Сколько граммов воды испарилось?
Масса соли при испарении не меняется (испаряется только вода): $m_{соли} = 0{,}05 \cdot 400 = 20$ г. Пусть масса раствора после испарения — $m$ г. Тогда $0{,}08m = 20$, откуда $m = 250$ г.
Испарилось $400 - 250 = \textbf{150 г}$ воды.
Частая ошибка
При добавлении чистого вещества или воды забывают, что меняется не только масса вещества, но и общая масса смеси — в уравнение нужно подставлять новую, увеличенную (или уменьшенную при испарении) массу, а не исходную. Если в примере 2 написать уравнение $\dfrac{4 + x}{10} = 0{,}6$ вместо $\dfrac{4 + x}{10 + x} = 0{,}6$, ответ получится неверным.
Частая ошибка
Концентрацию путают с процентом от массы добавленного вещества, а не от массы всего раствора. Фраза "60% меди" означает долю меди во всём получившемся сплаве, а не долю добавленной меди от исходного сплава — это два разных числа.
Где это встречается на экзамене
Задачи на смеси и сплавы — стандартная часть текстовых задач ОГЭ и ЕГЭ, где требуется составить уравнение по условию. Формулировки варьируются: "смешали растворы", "сплавили два металла", "разбавили водой", "выпарили часть раствора" — но под любой из них лежит одно и то же уравнение баланса массы вещества. Если в условии встречаются слова "концентрация", "процентное содержание", "доля" рядом со словами "раствор", "сплав", "смесь" — почти наверняка пригодится именно этот метод.
Частые вопросы
Что делать, если в задаче смешивают не два, а три раствора? Уравнение баланса остаётся тем же, просто слева добавляется третье слагаемое: $m_1c_1 + m_2c_2 + m_3c_3 = (m_1+m_2+m_3) \cdot c$.
Можно ли решать такие задачи без уравнений, методом "правила креста"? Да, правило креста (диагональная схема) — это графический способ быстро найти соотношение масс двух растворов по трём известным концентрациям, но он решает тот же частный случай, что и уравнение баланса, и не подходит, если неизвестных больше одной.
Что если в условии даны объёмы, а не массы? Если плотности растворов разные, нужно сначала перевести объём в массу через плотность ($m = \rho V$), иначе уравнение баланса будет неверным. Если по условию плотности растворов совпадают (или задача это подразумевает), объёмы можно использовать вместо масс напрямую.
Как понять, что добавляется — вещество или растворитель? Чистая вода имеет концентрацию соли (кислоты) 0%, чистый металл, который добавляют в сплав, — концентрацию 100%. Остальное — та же формула баланса.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Смешали 200 г раствора соли с концентрацией 10% и 300 г раствора с концентрацией 25%. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Масса смеси: $200 + 300 = 500$ г.
Концентрация: $95 / 500 = 0{,}19 = \textbf{19\%}$.
Задача 2: Сколько граммов воды нужно добавить к 150 г раствора соли с концентрацией 30%, чтобы получить раствор с концентрацией 18%?
Масса нового раствора: $45 / 0{,}18 = 250$ г.
Добавили воды: $250 - 150 = \textbf{100 г}$.
Задача 3: Сплав олова и свинца массой 20 кг содержит 30% олова. Сколько килограммов чистого олова нужно добавить, чтобы доля олова стала 50%?
$\dfrac{6 + x}{20 + x} = 0{,}5 \;\Rightarrow\; 6 + x = 10 + 0{,}5x \;\Rightarrow\; 0{,}5x = 4 \;\Rightarrow\; x = \textbf{8 кг}$.
Задача 4: Раствор кислоты с концентрацией 10% смешали с раствором кислоты с концентрацией 40% в отношении масс $2:3$. Найдите концентрацию получившейся смеси.
Масса кислоты: $0{,}1 \cdot 2k + 0{,}4 \cdot 3k = 0{,}2k + 1{,}2k = 1{,}4k$.
Масса смеси: $2k + 3k = 5k$.
Концентрация: $1{,}4k / 5k = 0{,}28 = \textbf{28\%}$.
Главное запомнить
- Концентрация — это отношение массы вещества к массе всего раствора или сплава: $c = m_в / m_р$
- Главное уравнение: $m_1c_1 + m_2c_2 = (m_1+m_2) \cdot c$ — масса вещества в смеси равна сумме масс вещества в её частях
- Чистое вещество — это концентрация 100%, чистая вода или другой компонент сплава — концентрация 0%
- При добавлении вещества или испарении воды в уравнение нужно подставлять новую, изменившуюся массу смеси
- Концентрация смеси — средневзвешенная по массам величина, а не простое среднее арифметическое процентов
Что почитать дальше
- Задачи на проценты: от скидок до реальных ситуаций
- Решаем задачи с помощью уравнений
- Системы линейных уравнений
- Подготовка к ОГЭ по математике
- Подготовка к ЕГЭ по математике
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.