В задачах по геометрии часто просят построить точку, симметричную данной относительно прямой или относительно другой точки, либо определить, есть ли у фигуры ось или центр симметрии. Путаница обычно возникает именно на стыке двух разных видов симметрии: осевой и центральной — у них похожие названия, но разные формулы и разный смысл. Разберём обе симметрии по отдельности, выведем координатные формулы, докажем их и научимся быстро узнавать симметрию у типовых фигур.
Осевая симметрия
Определение
Точки $M$ и $M'$ называются симметричными относительно прямой $a$, если прямая $a$ проходит через середину отрезка $MM'$ и перпендикулярна этому отрезку. Прямая $a$ называется осью симметрии. Если точка $M$ лежит на самой прямой $a$, она считается симметричной самой себе.
Чтобы построить точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно прямой $a$, нужно опустить из $M$ перпендикуляр на $a$ и отложить на нём за точку пересечения такое же расстояние, какое было от $M$ до прямой.
На координатной плоскости чаще всего нужна симметрия относительно осей координат:
Пример 1: симметрия относительно осей координат
Дана точка $A(3; -5)$. Найдём точку $A_1$, симметричную $A$ относительно оси $Ox$, и точку $A_2$, симметричную $A$ относительно оси $Oy$.
Относительно $Ox$ меняем знак второй координаты: $A_1(3; 5)$.
Относительно $Oy$ меняем знак первой координаты: $A_2(-3; -5)$.
Центральная симметрия
Определение
Точки $M$ и $M'$ называются симметричными относительно точки $O$, если $O$ — середина отрезка $MM'$. Точка $O$ называется центром симметрии.
Если центр симметрии совпадает с началом координат, формула получается особенно простой — меняются знаки обеих координат:
Если центр симметрии — произвольная точка $O(a; b)$, формулу удобно получить из того, что $O$ — середина отрезка $MM'$:
Пример 2: симметрия относительно произвольной точки
Дана точка $A(2; 3)$ и центр симметрии $O(5; 1)$. Найдём точку $A'$, симметричную $A$ относительно $O$.
$x' = 2 \cdot 5 - 2 = 8$, $\quad y' = 2 \cdot 1 - 3 = -1$.
Ответ: $A'(8; -1)$.
Почему формулы именно такие
Формула $x' = 2a - x$ — это формула середины отрезка, записанная наоборот. Если $O(a; b)$ — середина отрезка $MM'$, то по формуле середины отрезка $a = \dfrac{x + x'}{2}$ и $b = \dfrac{y + y'}{2}$. Выразив отсюда $x'$ и $y'$, получаем $x' = 2a - x$ и $y' = 2b - y$.
Формулу осевой симметрии относительно $Ox$ можно вывести из того же определения: прямая $Ox$ должна проходить через середину отрезка $MM'$ и быть перпендикулярна ему. Если $M(x; y)$, а $M'(x; y')$ (первая координата не меняется, потому что перпендикуляр к оси $Ox$ — вертикальная прямая), то середина отрезка $\left(x; \dfrac{y+y'}{2}\right)$ должна лежать на оси $Ox$, то есть её вторая координата равна нулю: $\dfrac{y+y'}{2} = 0$, откуда $y' = -y$. Для оси $Oy$ рассуждение симметрично, только меняется роль координат: перпендикуляр к $Oy$ — горизонтальная прямая, значит не меняется координата $y$, а из условия $\dfrac{x+x'}{2} = 0$ получаем $x' = -x$.
Это объясняет и связь между двумя видами симметрии: отражение относительно оси $Ox$ меняет знак только у $y$, отражение относительно оси $Oy$ — только у $x$, а если сделать оба отражения подряд (сначала относительно $Ox$, потом относительно $Oy$), знаки поменяются у обеих координат — получится ровно центральная симметрия относительно начала координат. Это не совпадение: композиция двух осевых симметрий относительно перпендикулярных прямых всегда равна центральной симметрии относительно точки их пересечения.
Как отличить осевую симметрию от центральной на чертеже
При осевой симметрии фигура «отражается», как в зеркале: правая и левая часть меняются местами, а порядок обхода вершин фигуры по контуру меняется с одного направления на противоположное. При центральной симметрии фигура «переворачивается» через точку, как при повороте на $180°$: порядок обхода вершин сохраняется.
Ось и центр симметрии фигуры
Отдельный вопрос — не симметрия двух точек, а симметрия самой фигуры: говорят, что фигура имеет ось симметрии, если при отражении относительно этой прямой фигура переходит сама в себя, и что фигура имеет центр симметрии, если при симметрии относительно этой точки она тоже переходит сама в себя.
Симметрия типовых фигур
Равносторонний треугольник — 3 оси симметрии (каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны), центра симметрии нет. Квадрат — 4 оси симметрии (две диагонали и две средние линии) и центр симметрии в точке пересечения диагоналей. Прямоугольник (не квадрат) и ромб (не квадрат) — по 2 оси симметрии (у прямоугольника это средние линии, у ромба — диагонали) и центр симметрии. Параллелограмм общего вида — центр симметрии есть (точка пересечения диагоналей), а осей симметрии нет: диагонали параллелограмма не перпендикулярны сторонам и не делят его на зеркально равные половины. Равнобедренная трапеция — 1 ось симметрии (перпендикуляр к основаниям через их середины), центра симметрии нет. Окружность — бесконечно много осей симметрии (любой диаметр) и центр симметрии в центре окружности.
Пример 4: симметрия у буквы
У печатной буквы «А» есть ровно одна ось симметрии — вертикальная прямая посередине буквы: левая и правая половины буквы зеркально совпадают. Центра симметрии у неё нет: если повернуть «А» на $180°$ вокруг любой точки, получится буква «А», стоящая вверх ногами, а не совпадающая с исходной. У буквы «Н», наоборот, есть и вертикальная, и горизонтальная ось симметрии, а значит, есть и центр симметрии — их точка пересечения.
Частая ошибка
Параллелограмму общего вида иногда приписывают ось симметрии, путая его с прямоугольником или ромбом — на самом деле диагонали произвольного параллелограмма не являются его осями симметрии, у него есть только центр симметрии. Другая частая ошибка — при симметрии относительно оси $Ox$ менять знак у координаты $x$ вместо $y$: запомнить проще так, что меняется знак у той координаты, которая считается «поперёк» оси.
Пример 3: симметрия точки относительно точки на плоскости
Точка $M(-2; 4)$ симметрична точке $N$ относительно точки $K(1; -1)$. Найдём координаты точки $N$.
По формуле центральной симметрии $K$ — середина отрезка $MN$, поэтому $1 = \dfrac{-2 + x_N}{2}$ и $-1 = \dfrac{4 + y_N}{2}$.
Отсюда $x_N = 2 \cdot 1 - (-2) = 4$, $\ y_N = 2 \cdot (-1) - 4 = -6$.
Ответ: $N(4; -6)$.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Найдите точку, симметричную точке $B(-4; 7)$ относительно оси $Oy$.
Ответ: $B'(4; 7)$.
Задача 2: Найдите точку, симметричную точке $C(6; -3)$ относительно начала координат.
Ответ: $C'(-6; 3)$.
Задача 3: Точка $D(1; 2)$ симметрична точке $D'$ относительно точки $O(4; 4)$. Найдите координаты $D'$.
Ответ: $D'(7; 6)$.
Задача 4: Сколько осей симметрии у правильного пятиугольника и есть ли у него центр симметрии?
Ответ: 5 осей симметрии, центра симметрии нет.
Задача 5: Середина отрезка $KL$ — точка $(2; -1)$. Точка $K$ имеет координаты $(5; 3)$. Найдите координаты точки $L$, симметричной $K$ относительно середины отрезка.
Ответ: $L(-1; -5)$.
Главное запомнить
- Осевая симметрия: ось проходит через середину отрезка $MM'$ перпендикулярно ему; относительно $Ox$ меняется знак $y$, относительно $Oy$ — знак $x$
- Центральная симметрия: центр — середина отрезка $MM'$; относительно начала координат меняются знаки обеих координат, относительно точки $O(a;b)$: $x' = 2a - x$, $y' = 2b - y$
- Фигура имеет ось симметрии, если отражение относительно прямой переводит фигуру в саму себя; центр симметрии — если переводит симметрия относительно точки
- У параллелограмма общего вида есть только центр симметрии, осей симметрии нет; у равнобедренной трапеции — только одна ось, центра нет
Что почитать дальше
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.