На координатной плоскости любую задачу про длину отрезка или его середину можно решить без построений и линейки — достаточно знать координаты концов отрезка и две формулы. Разберём, откуда они берутся и как ими пользоваться на практике.
Определение
Расстояние между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ — это длина отрезка $AB$. Середина отрезка $AB$ — точка $M$, которая делит его на две равные части: $AM = MB$.
Формула расстояния между двумя точками
Из разности координат по каждой оси получаются два числа — на сколько точки сдвинуты по горизонтали и по вертикали. Их называют катетами, а искомое расстояние — гипотенузой: оно равно корню из суммы квадратов этих разностей.
Почему работает эта формула
Вывод через теорему Пифагора
Проведём через точку $A$ горизонтальную прямую, а через точку $B$ — вертикальную. Они пересекутся в точке $C(x_2, y_1)$, и получится прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катет $AC$ лежит на горизонтали и равен $|x_2 - x_1|$, катет $BC$ лежит на вертикали и равен $|y_2 - y_1|$, а отрезок $AB$ — гипотенуза этого треугольника. По теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$, то есть $AB^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$ — модули при возведении в квадрат можно опустить, знак разности результата не меняет. Остаётся извлечь корень.
Из этого же рассуждения видно, почему порядок вычитания координат не важен: что $(x_2 - x_1)$, что $(x_1 - x_2)$ после возведения в квадрат дают одно и то же число. Формула работает для любых двух точек, в том числе если они лежат на одной вертикали или горизонтали — тогда одна из разностей просто обращается в ноль, и расстояние сводится к модулю оставшейся разности координат.
Эта формула встречается не только в задачах «найдите длину отрезка по координатам точек». На ней держится вся аналитическая геометрия: с её помощью проверяют, что треугольник равнобедренный или прямоугольный (сравнивая длины сторон, найденные через координаты вершин), доказывают, что четырёхугольник — параллелограмм или ромб, и даже выводят уравнение окружности — ведь окружность это просто множество точек, расстояние от которых до центра одинаково. В более общем виде, с добавлением третьей координаты, та же формула используется для расстояния между точками в пространстве, а её идея — суммировать квадраты разностей по каждой координате — лежит в основе евклидова расстояния, которым в машинном обучении измеряют «похожесть» объектов с множеством признаков.
Формула координат середины отрезка
Координата середины отрезка по каждой оси — это среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Формула применяется к $x$ и $y$ отдельно и независимо друг от друга.
Почему это среднее арифметическое
Спроецируем отрезок $AB$ и его середину $M$ на ось $x$. Проекции концов — числа $x_1$ и $x_2$, а проекция середины отрезка — середина между ними на числовой прямой, то есть $\dfrac{x_1+x_2}{2}$. То же самое верно для проекций на ось $y$. Поскольку середина отрезка проецируется в середину проекции, обе координаты точки $M$ получаются как полусумма координат концов.
Пример 1: расстояние между точками
Пример 1
Найдём расстояние между точками $A(2, 3)$ и $B(6, 7)$.
Разности координат: $x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$, $y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4$.
$AB = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$.
Пример 2: координаты середины отрезка
Пример 2
Найдём середину отрезка с концами $A(-3, 1)$ и $B(5, -4)$.
$x_M = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1$, $y_M = \dfrac{1 + (-4)}{2} = -1{,}5$.
Середина отрезка — точка $M(1;\ -1{,}5)$.
Пример 3: находим второй конец отрезка по его середине
Пример 3
Точка $M(2, -1)$ — середина отрезка $AB$, известна точка $A(-4, 3)$. Найдём координаты точки $B$.
Из формулы середины $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ выражаем $x_B = 2x_M - x_A = 2 \cdot 2 - (-4) = 4 + 4 = 8$.
Аналогично $y_B = 2y_M - y_A = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$.
Получаем $B(8, -5)$. Проверка: $\left(\dfrac{-4+8}{2};\ \dfrac{3-5}{2}\right) = (2; -1)$ — совпадает с $M$.
Частая ошибка
При поиске второго конца отрезка по известной середине забывают удвоить координату середины и просто вычитают координату известной точки: пишут $x_B = x_M - x_A$ вместо верного $x_B = 2x_M - x_A$. Вторая частая ошибка — в формуле середины делить на 2 только одну координату, а не обе: $x$ и $y$ усредняются независимо друг от друга, и пропустить одну из них легко, если считать второпях.
Частые вопросы
Можно ли переставить точки местами в формуле расстояния? Да, результат не изменится: $AB$ и $BA$ — одно и то же расстояние, а разность координат входит в формулу в квадрате, поэтому знак роли не играет.
Что если точки лежат на одной прямой, параллельной оси? Одна из разностей координат станет равна нулю, и расстояние превратится в модуль оставшейся разности — по сути, в обычное расстояние между числами на координатной прямой.
Чем формула расстояния отличается от теоремы Пифагора? Это и есть теорема Пифагора, только записанная для прямоугольного треугольника, катеты которого — не произвольные отрезки, а разности координат по осям $x$ и $y$.
Работает ли формула середины для отрезка в пространстве? Да, к паре координат $(x, y)$ просто добавляется третья, $z$, и середина по ней считается так же — как среднее арифметическое $z$-координат концов.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Найдите расстояние между точками $A(1, 1)$ и $B(4, 5)$.
$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \textbf{5}$.
Задача 2: Найдите координаты середины отрезка с концами $A(-2, 5)$ и $B(6, -1)$.
Ответ: $M(2; 2)$.
Задача 3: Даны точки $A(0, 0)$ и $B(8, 6)$. Найдите расстояние $AB$ и координаты середины отрезка $AB$.
Середина: $M\left(\dfrac{0+8}{2}; \dfrac{0+6}{2}\right) = M(4; 3)$.
Ответ: $AB = 10$, $M(4; 3)$.
Задача 4: Точка $M(3, 4)$ — середина отрезка $CD$, известна точка $C(-1, 2)$. Найдите координаты точки $D$.
$y_D = 2y_M - y_C = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$.
Ответ: $D(7; 6)$.
Задача 5: Даны точки $A(0, 0)$, $B(3, 0)$, $C(0, 4)$. Вычислите длины всех трёх сторон треугольника $ABC$ и определите, равнобедренный ли он.
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Все три стороны разной длины (3, 4 и 5), значит треугольник не равнобедренный — зато это прямоугольный треугольник со сторонами из пифагоровой тройки 3-4-5.
Главное запомнить
- Расстояние между точками: $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ — это теорема Пифагора для разностей координат
- Середина отрезка: координаты равны среднему арифметическому координат концов по каждой оси отдельно
- Порядок вычитания координат в формуле расстояния не важен — разность возводится в квадрат
- Чтобы найти неизвестный конец отрезка по его середине, координату середины нужно удвоить, а не просто взять разность
Что почитать дальше
- Теорема Пифагора: формула, примеры и как найти катет или гипотенузу
- Векторы: от математики до нейронных сетей
- График функции
- Подготовка к ОГЭ по математике
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.