Кредиты: дифференцированный и аннуитетный платёж, как считать

В экономических задачах про кредиты обычно нужно сравнить два способа гасить долг: дифференцированную и аннуитетную схему платежей. Внешне условие пугает банковскими терминами, но вся задача сводится к паре формул и аккуратной арифметике. Разберём, чем отличаются схемы, как считать платёж в каждой из них и почему итоговая переплата получается разной.

Определение

При дифференцированных платежах тело кредита (сумма долга) делится на равные части по числу месяцев, и каждый месяц заёмщик возвращает одну такую часть плюс проценты на остаток долга — поэтому платёж уменьшается от месяца к месяцу. При аннуитетных платежах заёмщик платит одну и ту же сумму каждый месяц, но внутри неё соотношение «проценты / тело кредита» меняется: в начале срока большая часть идёт на проценты, к концу — на возврат долга.

Формулы: как считать платёж

Пусть $S$ — сумма кредита, $n$ — срок в месяцах, $i$ — месячная процентная ставка в виде десятичной дроби (например, 2% — это $i = 0{,}02$).

Дифференцированная схема. Тело кредита, которое возвращают каждый месяц, постоянно:

$$p = \dfrac{S}{n}.$$

Платёж за месяц $k$ состоит из этой постоянной части и процентов на остаток долга, который ещё не возвращён:

$$X_k = \dfrac{S}{n} + \left(S - (k-1)\cdot\dfrac{S}{n}\right)\cdot i.$$

Аннуитетная схема. Платёж одинаковый все $n$ месяцев и находится из формулы приведённой суммы платежей — она же сумма членов геометрической прогрессии (об этом в разделе «почему так»):

$$X = \dfrac{S \cdot i \cdot (1+i)^n}{(1+i)^n - 1}.$$

\sum_{k=1}^{n} i \cdot S\left(1 - \dfrac{k-1}{n}\right) = i \cdot S \cdot \dfrac{n+1}{2}

общая сумма процентов за весь срок по дифференцированной схеме

Почему переплата отличается

Обе схемы начисляют проценты одинаково: на остаток долга, который ещё не возвращён. Разница — в том, как быстро этот остаток уменьшается.

В дифференцированной схеме тело кредита убывает равномерно: после $k$-го платежа остаток равен $S\left(1 - \dfrac{k}{n}\right)$ — это арифметическая прогрессия. Проценты за месяц $k$ начисляются на остаток $S\left(1 - \dfrac{k-1}{n}\right)$, и сумма всех процентов за весь срок — это сумма арифметической прогрессии, отсюда и формула $i \cdot S \cdot \dfrac{n+1}{2}$ выше.

В аннуитетной схеме платёж постоянен, но в первые месяцы остаток долга почти не уменьшился, значит, проценты за эти месяцы съедают большую часть платежа, а на возврат тела кредита остаётся меньше, чем $S/n$. Из-за этого остаток долга в аннуитетной схеме в любой промежуточный момент оказывается не меньше, чем в дифференцированной схеме при тех же $S$, $n$ и $i$ — а значит, и проценты за весь срок набегают немного больше. Поэтому при одинаковых условиях дифференцированная схема почти всегда даёт меньшую итоговую переплату, а аннуитетная — более удобный для планирования бюджета (но чуть более дорогой) способ выплаты.

Пример 1: дифференцированная схема

Пример 1

Банк выдал кредит 600 000 руб. на 6 месяцев под 2% в месяц, платежи дифференцированные. Тело кредита, возвращаемое ежемесячно: $p = 600000 / 6 = 100000$ руб.

Платёж за 1-й месяц: проценты на весь долг $600000 \cdot 0{,}02 = 12000$, платёж $100000 + 12000 = 112000$ руб.
Платёж за 2-й месяц: остаток долга $500000$, проценты $500000 \cdot 0{,}02 = 10000$, платёж $100000 + 10000 = 110000$ руб.
Платёж за 3-й месяц: остаток $400000$, проценты $8000$, платёж $108000$ руб.
И так далее — каждый следующий платёж на 2000 руб. меньше предыдущего, потому что остаток долга уменьшается на 100 000 руб., а проценты с этого остатка — на $100000 \cdot 0{,}02 = 2000$ руб.

Полная сумма процентов за 6 месяцев по формуле: $i \cdot S \cdot \dfrac{n+1}{2} = 0{,}02 \cdot 600000 \cdot \dfrac{7}{2} = 42000$ руб.

Пример 2: аннуитетная схема для того же кредита

Пример 2

Тот же кредит 600 000 руб. на 6 месяцев под 2% в месяц, но платежи аннуитетные. Сначала находим $(1{,}02)^6$: это $1{,}02 \cdot 1{,}02 \cdot 1{,}02 \cdot 1{,}02 \cdot 1{,}02 \cdot 1{,}02 \approx 1{,}126162$.

Ежемесячный платёж:

$$X = \dfrac{600000 \cdot 0{,}02 \cdot 1{,}126162}{1{,}126162 - 1} = \dfrac{13513{,}9}{0{,}126162} \approx 107115{,}5 \text{ руб.}$$

Платёж одинаков все 6 месяцев: примерно 107 115,5 руб. Общая сумма выплат: $6 \cdot 107115{,}5 \approx 642693$ руб., значит, сумма процентов за весь срок: $642693 - 600000 \approx 42693$ руб.

Сравним с примером 1: по дифференцированной схеме переплата составила 42 000 руб., по аннуитетной — примерно 42 693 руб., то есть почти на 700 руб. больше при тех же условиях. Разница небольшая на коротком сроке, но растёт с увеличением срока кредита и ставки.

Частая ошибка

Самая частая ошибка — подставлять в формулы годовую ставку вместо месячной. Если в условии дана годовая ставка (например, 24% годовых), сначала делят её на 12, чтобы получить месячную: $i = 0{,}24 / 12 = 0{,}02$. Другая ошибка — в дифференцированной схеме начислять проценты на всю сумму кредита $S$ каждый месяц, а не на остаток долга, который уменьшается. Третья ошибка — путать, какая схема в итоге дороже: при равных $S$, $n$ и $i$ дешевле дифференцированная, а не аннуитетная.

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Кредит 800 000 руб. выдан на 4 месяца под 1% в месяц, платежи дифференцированные. Найдите первый и последний (четвёртый) платёж.

Тело кредита в месяц: $800000 / 4 = 200000$ руб.
1-й платёж: $200000 + 800000 \cdot 0{,}01 = 200000 + 8000 = 208000$ руб.
Остаток перед 4-м платежом: $800000 - 3 \cdot 200000 = 200000$ руб.
4-й платёж: $200000 + 200000 \cdot 0{,}01 = 200000 + 2000 = 202000$ руб.
Ответ: 208 000 руб. и 202 000 руб.

Задача 2: По дифференцированной схеме выдан кредит 1 000 000 руб. на 10 месяцев под 1,5% в месяц. Найдите общую сумму процентов за весь срок.

По формуле: $i \cdot S \cdot \dfrac{n+1}{2} = 0{,}015 \cdot 1000000 \cdot \dfrac{11}{2} = 15000 \cdot 5{,}5 = 82500$ руб.
Ответ: 82 500 руб.

Задача 3: Кредит 500 000 руб. выдан на 5 месяцев по дифференцированной схеме. Найдите остаток долга сразу после 2-го платежа.

Тело кредита в месяц: $500000 / 5 = 100000$ руб.
После 2 платежей возвращено $2 \cdot 100000 = 200000$ руб.
Остаток: $500000 - 200000 = 300000$ руб.
Ответ: 300 000 руб.

Задача 4: Банк выдал кредит 240 000 руб. на 3 месяца под 2% в месяц по аннуитетной схеме. Известно, что $(1{,}02)^3 = 1{,}061208$. Найдите ежемесячный платёж (округлите до рубля).

$X = \dfrac{240000 \cdot 0{,}02 \cdot 1{,}061208}{1{,}061208 - 1} = \dfrac{5093{,}8}{0{,}061208} \approx 83221$ руб.
Ответ: ≈ 83 221 руб.

Задача 5: При одинаковых сумме кредита, сроке и ставке какая схема — дифференцированная или аннуитетная — даёт меньшую итоговую переплату, и почему?

Дифференцированная. В ней тело кредита убывает быстрее с первых месяцев (постоянная часть $S/n$ в каждом платеже), значит, остаток долга, на который начисляются проценты, в любой момент не больше, чем в аннуитетной схеме с тем же $S$, $n$ и $i$. Меньший остаток — меньше начисленных процентов за весь срок.
Ответ: дифференцированная схема.

Главное запомнить

Дифференцированный платёж: тело кредита $S/n$ постоянно, проценты начисляются на убывающий остаток — платёж уменьшается от месяца к месяцу
Аннуитетный платёж: сумма $X = \dfrac{S \cdot i \cdot (1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$ постоянна весь срок, но доля процентов в ней уменьшается, а доля тела кредита растёт
Сумма процентов за весь срок по дифференцированной схеме считается по формуле $i \cdot S \cdot \dfrac{n+1}{2}$
При одинаковых $S$, $n$ и $i$ дифференцированная схема почти всегда дешевле по итоговой переплате, потому что быстрее уменьшает остаток долга
Ставку из условия нужно перевести в месячную (разделить годовую на 12), прежде чем подставлять в формулы

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.