Длина дуги и площадь сектора: формулы и примеры

Круговая диаграмма, кусок пиццы, сектор циферблата, поворот стрелки компаса — во всех этих ситуациях нужна не вся окружность, а только её часть. Длина дуги и площадь сектора — это как раз величины для такой «доли» окружности и круга. В статье разберём, как выводятся формулы для дуги и сектора через центральный угол, чем отличается расчёт в градусах от расчёта в радианах, и как решать типичные задачи.

Определение

Дуга окружности — это часть окружности между двумя точками на ней. Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведёнными в концы этой дуги. Угол между этими радиусами называют центральным углом сектора, он же — центральный угол, на который опирается дуга.

\ell = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r

ℓ — длина дуги, r — радиус, α — центральный угол в градусах

S = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2

S — площадь сектора, r — радиус, α — центральный угол в градусах

Если угол задан в радианах, формулы становятся короче, потому что радиан сам по себе уже связывает угол с длиной дуги:

\ell = r\varphi

φ — центральный угол в радианах

S = \dfrac{1}{2} r^2 \varphi

φ — центральный угол в радианах

Почему формулы выглядят именно так

Вся окружность — это дуга с центральным углом $360°$, а весь круг — сектор с тем же углом $360°$. Длина всей окружности равна $2\pi r$, площадь всего круга — $\pi r^2$. Дуга с углом $\alpha$ — это просто доля от полного оборота, причём доля ровно такая же, как доля угла $\alpha$ от полных $360°$. Поэтому длину дуги и площадь сектора получают, умножая длину окружности и площадь круга на одну и ту же дробь $\dfrac{\alpha}{360°}$:

$$\ell = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r, \qquad S = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2.$$

Формулы в радианах получаются из тех же самых формул, просто с другой «единицей измерения» угла. Полный оборот в радианах равен не $360°$, а $2\pi$. Подставим $\alpha/360° = \varphi/(2\pi)$ в формулу дуги:

$$\ell = \frac{\varphi}{2\pi}\cdot 2\pi r = \varphi r.$$

Множитель $2\pi$ сокращается, и остаётся простое произведение радиуса на угол в радианах — поэтому формула $\ell = r\varphi$ короче формулы в градусах: радианная мера угла была выбрана именно так, чтобы длина дуги считалась без лишних коэффициентов. Аналогично для площади сектора: $S = \dfrac{\varphi}{2\pi}\cdot \pi r^2 = \dfrac{1}{2} r^2 \varphi$.

Как связаны длина дуги и площадь сектора

Сектор можно представить как множество дуг разного радиуса — от 0 до r — со всё той же угловой «шириной». Это тот же принцип, по которому площадь круга получают из длины окружности интегрированием: $S = \int_0^r \varphi \, t\, dt = \dfrac{1}{2}\varphi r^2$. Поэтому формула площади сектора всегда содержит $r^2$, а формула длины дуги — только $r$ в первой степени.

Примеры

Пример 1: длина дуги по углу в градусах

Радиус окружности равен 6 см, центральный угол дуги — $60°$. Найдём длину дуги:
$\ell = \dfrac{60°}{360°}\cdot 2\pi \cdot 6 = \dfrac{1}{6}\cdot 12\pi = 2\pi \approx 6{,}28$ см.

Пример 2: площадь сектора по углу в градусах

Радиус круга равен 10 см, центральный угол сектора — $90°$ (четверть круга). Найдём площадь сектора:
$S = \dfrac{90°}{360°}\cdot \pi \cdot 10^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 100\pi = 25\pi \approx 78{,}5$ см².

Пример 3: расчёт в радианах

Радиус равен 4 см, центральный угол — $\dfrac{\pi}{3}$ радиан (это $60°$). Найдём длину дуги и площадь сектора:
$\ell = r\varphi = 4\cdot\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \approx 4{,}19$ см.
$S = \dfrac{1}{2}r^2\varphi = \dfrac{1}{2}\cdot 16\cdot\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{3} \approx 8{,}38$ см².

Частая ошибка

Самая частая ошибка — подставлять угол в градусах в радианную формулу $\ell = r\varphi$ или $S = \frac12 r^2\varphi$ без перевода в радианы. Если угол дан в градусах, нужно либо сначала перевести его в радианы ($\varphi = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180°}$), либо сразу использовать формулу с дробью $\dfrac{\alpha}{360°}$. Вторая частая ошибка — спутать формулу дуги (с $r$ в первой степени) с формулой сектора (с $r^2$): длина дуги растёт с радиусом линейно, а площадь сектора — квадратично.

Длина дуги через длину хорды

Иногда угол неизвестен, но известна хорда, стягивающая дугу. В этом случае удобно сначала найти центральный угол через хорду $c$ и радиус $r$, используя теорему косинусов для треугольника, образованного двумя радиусами и хордой:

c^2 = r^2 + r^2 - 2r^2\cos\varphi = 2r^2(1-\cos\varphi)

φ — центральный угол дуги, стягиваемой хордой c

Отсюда $\cos\varphi = 1 - \dfrac{c^2}{2r^2}$, и дальше угол находят через арккосинус, после чего подставляют в обычную формулу длины дуги $\ell = r\varphi$.

Сектор на практике: круговая диаграмма

Формула площади сектора работает и в обратную сторону — не только «от угла к площади», но и «от доли к углу». Это ровно то, что происходит при построении круговой диаграммы: известна доля какой-то категории (например, в процентах), а нужно найти центральный угол сектора, который эту долю показывает на диаграмме.

Поскольку сектор — это доля $\dfrac{\alpha}{360°}$ от всего круга, а доля категории на диаграмме задаётся в процентах от целого, угол сектора находят умножением доли на $360°$:

\alpha = \text{доля} \cdot 360°

доля — число от 0 до 1 (или проценты, делённые на 100)

Пример 4: угол сектора на круговой диаграмме

На круговой диаграмме одна из категорий занимает 35% данных. Найдём центральный угол её сектора:
$\alpha = 0{,}35 \cdot 360° = 126°$.

Радиус в такой задаче вообще не нужен: доля от целого круга зависит только от угла, а не от размера диаграммы. Это тот же принцип, что лежит в основе формул дуги и сектора — величина всегда пропорциональна отношению угла к полному обороту.

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Радиус окружности равен 9 см, центральный угол дуги — $40°$. Найдите длину дуги (округлите до сотых, $\pi \approx 3{,}14$).

$\ell = \dfrac{40°}{360°}\cdot 2\pi \cdot 9 = \dfrac{1}{9}\cdot 18\pi = 2\pi \approx 6{,}28$ см.
Ответ: ≈ 6,28 см.

Задача 2: Радиус круга равен 12 см, центральный угол сектора — $150°$. Найдите площадь сектора (округлите до десятых).

$S = \dfrac{150°}{360°}\cdot \pi \cdot 12^2 = \dfrac{5}{12}\cdot 144\pi = 60\pi \approx 188{,}4$ см².
Ответ: ≈ 188,4 см².

Задача 3: Длина дуги равна $8\pi$ см, радиус окружности — 8 см. Найдите центральный угол дуги в градусах.

Из формулы $\ell = \dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r$ выражаем угол:
$\alpha = \dfrac{\ell \cdot 360°}{2\pi r} = \dfrac{8\pi \cdot 360°}{2\pi \cdot 8} = \dfrac{8\pi \cdot 360°}{16\pi} = \dfrac{360°}{2} = 180°$.
Ответ: 180° (это половина окружности).

Задача 4: Сектор с радиусом 5 см и центральным углом $\dfrac{2\pi}{5}$ радиан. Найдите площадь сектора.

$S = \dfrac{1}{2}r^2\varphi = \dfrac{1}{2}\cdot 25\cdot\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{1}{2}\cdot 10\pi = 5\pi \approx 15{,}7$ см².
Ответ: 5π ≈ 15,7 см².

Задача 5: Площадь сектора равна $18\pi$ см², радиус круга — 6 см. Найдите центральный угол сектора в градусах.

Из формулы $S = \dfrac{\alpha}{360°}\cdot \pi r^2$ выражаем угол:
$\alpha = \dfrac{S\cdot 360°}{\pi r^2} = \dfrac{18\pi \cdot 360°}{\pi \cdot 36} = \dfrac{18\cdot 360°}{36} = 180°$.
Ответ: 180°.

Главное запомнить

Длина дуги в градусах: $\ell = \dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r$; в радианах: $\ell = r\varphi$
Площадь сектора в градусах: $S = \dfrac{\alpha}{360°}\cdot \pi r^2$; в радианах: $S = \dfrac{1}{2}r^2\varphi$
Если угол дан в градусах, а формула — в радианах (или наоборот), сначала переведите угол: $\varphi = \alpha\cdot\dfrac{\pi}{180°}$
Длина дуги зависит от радиуса линейно, площадь сектора — квадратично (множитель $r^2$)
Если известна хорда, а не угол, центральный угол сначала находят через теорему косинусов

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.